徳島県教員採用試験の問題【2017年中高共通第5問】

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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

直線 $\displaystyle y=\frac{1}{3}x$ と、中心が第1象限にある半径 $r$ の円 $C$ について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)直線 $l$ は、直線 $\displaystyle y=\frac{1}{3}x$ に関して $x$ 軸と対称な直線である。直線 $l$ の方程式を求めなさい。

(2)直線 $l$ と $y$ 軸の両方に接する円 $C$ が、点 $(1,3)$ を内部に含むとき、半径 $r$ のとる値の範囲を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2本の直線に接する円の半径の値の範囲を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

直線 $l$ の方程式を求める

直線 $\displaystyle y=\frac{1}{3}y$ と $x$ 軸とのなす角を $\theta$ とすると、 $\displaystyle \tan{\theta }=\frac{1}{3}$ です。また直線 $l$ と $x$ 軸とのなす角は $2\theta$ となりますので、直線 $l$ の傾きは $\tan{2\theta }$ となります。したがって、直線 $l$ の方程式は倍角の公式

$\displaystyle \tan{2\theta }=\frac{2\tan{\theta }}{1-\tan^{2}{\theta }}$

と原点を通ることから $\displaystyle y=\frac{3}{4}x$ となります。

$r$ のとりうる値の範囲を求める

円 $C$ は $y$ 軸と接しますので、円 $C$ の中心の $x$ 座標は $r$ となります。したがって、円 $C$ の中心の座標は $(r,a)$ とおくことができます。この中心が第1象限にありますので $a\gt 0$ であることに注意します。円 $C$ は直線 $l$ とも接しますので、円 $C$ の中心と直線 $l$ との距離を考えると

$\displaystyle \frac{|3r-4a|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=r$

が成り立ちます。これを $a$ の方程式と見て解くと $\displaystyle a=2r,\ a=-\frac{1}{2}r$ となりますが、 $a\gt 0$ であることから $a=2r$ となります。よって円 $C$ の方程式は

$(x-r)^{2}+(y-2r)^{2}=r^{2}$

であることがわかります。点 $(1,3)$ がこの円の内部にありますので

$(1-r)^{2}+(3-2r)^{2}\lt r^{2}$

が条件となります。この不等式を解くと

$\begin{eqnarray*} (1-r)^{2}+(3-2r)^{2}&\lt &r^{2}\\ 1-2r+r^{2}+9-12r+4r^{2}-r^{2}&\lt &0\\ 4r^{2}-14r+10&\lt &0\\ 2r^{2}-7r+5&\lt &0\\ (2r-5)(r-1)&\lt &0\end{eqnarray*}$