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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第5問です。
今回の問題の原文
直線と、中心が第1象限にある半径の円について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1)直線は、直線に関して軸と対称な直線である。直線の方程式を求めなさい。
(2)直線と軸の両方に接する円が、点を内部に含むとき、半径のとる値の範囲を求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
2本の直線に接する円の半径の値の範囲を求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
直線の方程式を求める
直線と軸とのなす角をとすると、です。また直線と軸とのなす角はとなりますので、直線の傾きはとなります。したがって、直線の方程式は倍角の公式
と原点を通ることからとなります。
のとりうる値の範囲を求める
円は軸と接しますので、円の中心の座標はとなります。したがって、円の中心の座標はとおくことができます。この中心が第1象限にありますのでであることに注意します。円は直線とも接しますので、円の中心と直線との距離を考えると
が成り立ちます。これをの方程式と見て解くととなりますが、であることからとなります。よって円の方程式は
であることがわかります。点がこの円の内部にありますので
が条件となります。この不等式を解くと
したがってが求めるの値の範囲になります。
いかがだったでしょうか?
問題文を注意深く読まないと間違ってしまう問題でした。
私もやらかしましたが、直線が軸に関して直線と対称な直線と勘違いしてしまうと全く違う答えが出てきます。
日本語に注意深くならないといけないなぁ、と思いさせられました。(>_<)
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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