マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2014年前期日程第2問】

図形と方程式入試問題

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今週は首都大学東京2013年と2014年の問題です。

今回は2014年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆☆です。

条件を満たす点Pを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

点 $P$ が直線 $y=\sqrt{3}x$ 上にあることから、直線 $OP$ と $x$ 軸とのなす角を $\theta$ とすると $\tan{\theta }=\sqrt{3}$ ですので $\theta =60^{\circ }$ となります。

$\triangle OAP$ の外接円の半径が $5$ であるときの点 $P$ の座標を $(t,\sqrt{3}t)$ とすると

$AP=2\sqrt{t^{2}-t+1}$

ですので、正弦定理より $\displaystyle \frac{2\sqrt{t^{2}-t+1}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10$ を満たします。

この $t$ に対する方程式を解くと $\displaystyle t=\frac{1\pm 6\sqrt{2}}{2}$ となりますので、点 $P$ の座標は

$\displaystyle \left( \frac{1\pm 6\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}\pm 6\sqrt{6}}{2}\right)$

となります。

$\angle P=45^{\circ }$ となるような点 $P$ の位置は、第1象限か第3象限にあるときですので、それぞれ場合分けをして考えます。

点 $P$ が第1象限にあるとき、 $OP=\sqrt{3}+1$ となりますので、点 $P$ の座標は $((\sqrt{3}+1)\cos{60^{\circ }},(\sqrt{3}+1)\sin{60^{\circ }})$ となります。

したがって $\displaystyle P\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+3}{2}\right)$ となります。

点 $P$ が第3象限にあるときは $((\sqrt{3}-1)\cos{120^{\circ }},(\sqrt{3}-1)\sin{120^{\circ }})$ となります。

$\angle A$ が $45^{\circ }$ で点 $P$ が第3象限にあるとき、点 $P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の長さを $k$ とすると $k=3+\sqrt{3}$ 、 $OA=2$ であることより $\triangle OAP$ の面積は $3+\sqrt{3}$ となります。

いかがだったでしょうか？

図を描くと解く方針が見えてくるのではないかと思います。

それぞれの問題で図が異なりますので、それぞれの問題に対する図を描いて考えていく必要があります。

面倒かもしれませんが、一つずつ丁寧にやっていかなければなりません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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