マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2014年前期日程第1問】

数列入試問題

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今週は首都大学東京2013年と2014年の問題です。

今回は2014年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

1000以下の奇数で5で割ったときの余りが2または3であるものの和を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

規則性を見つけて数列で表すことができないかを考えてみます。

$a_{1}=3,\ a_{2}=7,\ a_{3}=13,\ a_{4}=17,\ a_{5}=23,\ a_{6}=27$

となっています。この数列において、奇数番目は初項 $3$ 、公差 $10$ の等差数列、偶数番目は初項 $7$ 、公差 $10$ の等差数列になっていますので、数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項は次のように表すことができます。

$a_{n}=\left\{ \begin{array}{cc} 10m-7&(n=2m-1)\\ 10m-3&(n=2m)\end{array}\right.$

これを基にして $N$ の値を求めます。

$a_{N}$ は1000以下の奇数で5で割ると余りが2または3となる数のうち最大となるものです。

その数は $997$ ですので $a_{N}=997$ と考えられます。

1の位が $7$ ですので、 $N$ は偶数と考えられます。

したがって、 $10m-3=997$ となる $m$ の値を求めると $m=100$ ですので

$N=2\times 100=200$

ということになります。

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}$ の値は、奇数番目と偶数番目に分けて考えると計算し易いです。

求める値は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(10k-7)+\sum_{k=1}^{100}(10k-3)$

$\displaystyle =\frac{10}{2}\times 100\times 101-700+\frac{10}{2}\times 100\times 101-300$

$=101000-1000=100000$

となります。

いかがだったでしょうか？

規則性を見つけることで比較的簡単に求めることができます。

数列の問題は規則性を見つけ出す必要がある問題が多いですので、それを見つける訓練をした方が良さそうです。

今回のように見つけにくい場合は、例えば奇数番目と偶数番目に分けて考えると見つかるかもしれません。

　

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