徳島県教員採用試験の問題【2005年高等学校第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は高等学校第1問です。

今回の問題の原文

自然数 $n$ が $n$ 個連続して現れる数列

$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,\cdots$

がある。この数列 $\{ a_{n}\}$ について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)この数列 $\{ a_{n}\}$ の第300項を求めなさい。

(2)この数列 $\{ a_{n}\}$ の第300項までの和を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

群数列の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\leqq 300\leqq \frac{1}{2}n(n+1)$ を満たす自然数 $n$ を求めると $n=24$ になります。このとき、 $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)=300$ となりますので、 $a_{300}$ は $24$ である項の最後の項であることがわかります。したがって、数列 $\{ a_{n}\}$ の第300項までの和は