徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第6問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題第6問です。

今回の問題の原文

袋の中に1と書かれた球が1個、2と書かれた球が2個、… $n$ と書かれた球が $n$ 個入っているとする。この袋の中から無作為に球を1個取り出すとき、その球に書かれた数の期待値を求めなさい。ただし、球の大きさは全て同じとする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

球に書かれた数の期待値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

現在は期待値は数学Bで扱われている内容ですが、大学入試では出題範囲外となっています。ですが、令和7年度入試からは、期待値の項目が数学Aの範囲になりますので出題される可能性が高いです。今回の問題は教員採用試験の問題ですので大学の教養レベルまでは出題されます。

期待値の求め方は、 $k\ (1,2,3,\cdots )$ という値をとる確率を $p(k)$ とすると $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kp(k)$ で求めます。

今回の場合は、袋の中に球が合計で $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ 個入っていますので、 $k$ と書かれている球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{k}{\frac{1}{2}n(n+1)}$ となります。したがって、求める期待値は