マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2017年中高共通第4問】

2次関数教員採用試験の過去問

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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

$a$ を定数とし、 $x$ の2次関数 $y=2x^{2}-4(a-1)x+a+5$ のグラフを $G$ とする。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)グラフ $G$ の頂点の座標を $a$ を用いて表しなさい。

(2)グラフ $G$ が $-1\leqq x\leqq 3$ の範囲で $x$ 軸と異なる2つの共有点をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2次関数のグラフと $x$ 軸との位置関係に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

頂点を求める

2次関数の問題は頂点を求めることを最初に問われます。頂点を求めるには平方完成を行います。与えられている2次関数を平方完成すると

$y=2\{ x-(a-1)\} ^{2}-2a^{2}+5a+3$

となりますので、この2次関数のグラフの頂点は $(a-1,-2a^{2}+5a+3)$ となります。

$x$ 軸との共有点から $a$ の値の範囲を求める

$f(x)=2x^{2}-4(a-1)x+a+5$ とおきます。グラフ $G$ が $-1\leqq x\leqq 3$ の範囲で異なる2つの共有点を持つ条件は、方程式 $f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} f(-1)&\geqq &0\\ f(3)&\geqq &0\\ D&\gt &0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

かつ、軸について $-1\lt a-1\lt 3$ です。すべての不等式を解いて、共通部分を取ると、それが求める解になります。求める解は $\displaystyle 3\lt a\leqq \frac{35}{11}$ となります。

いかがだったでしょうか？

今回は放物線と $x$ 軸との交点の条件から $a$ の値の範囲を求める問題でした。

2次関数の値からアプローチをかける場合は上の解き方になります。

$x$ 軸が直線 $y=0$ ですので、2次方程式の解と係数の関係から $a$ の値の範囲を求めることもできます。

　

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