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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第4問です。
今回の問題の原文
を定数とし、
の2次関数
のグラフを
とする。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1)グラフの頂点の座標を
を用いて表しなさい。
(2)グラフが
の範囲で
軸と異なる2つの共有点をもつとき、定数
の値の範囲を求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
2次関数のグラフと軸との位置関係に関する問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
頂点を求める
2次関数の問題は頂点を求めることを最初に問われます。頂点を求めるには平方完成を行います。与えられている2次関数を平方完成すると
となりますので、この2次関数のグラフの頂点はとなります。
軸との共有点から
の値の範囲を求める
とおきます。グラフ
が
の範囲で異なる2つの共有点を持つ条件は、方程式
の判別式を
とすると
かつ、軸についてです。すべての不等式を解いて、共通部分を取ると、それが求める解になります。求める解は
となります。
いかがだったでしょうか？
今回は放物線と軸との交点の条件から
の値の範囲を求める問題でした。
2次関数の値からアプローチをかける場合は上の解き方になります。
軸が直線
ですので、2次方程式の解と係数の関係から
の値の範囲を求めることもできます。
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