マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2015年前期日程第4問】

2次関数入試問題

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今週は首都大学東京2015年・2016年の問題です。

今回は2015年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

曲線 $y=k(1-x^{2})-1$ が $k$ の値によらず定点を通るということですが、 $k$ の係数が $0$ となるような点がそれに該当します。

その点を求めると $(1,-1),\ (-1,-1)$ です。

$y=1-|x|$ のグラフは以下のようになります。

このグラフは $x$ 軸に関して対称ですので、右半分の $x\geqq 0$ の部分だけ考えれば充分です。

曲線 $y=k(1-x^{2})-1$ のグラフは $k\gt 0$ ですので、下に凸の放物線で、頂点が $y$ 軸上にあります。

したがって、曲線 $y=1-x$ と曲線 $y=k(1-x^{2})-1$ は交点が存在すれば $x\geqq 0$ の部分に1か所あります。

よって、この2つの曲線の交点の存在については、 $x$ の2次方程式

$k(1-x^{2})-1=1-x$

の判別式を考えれば良いということになります。

その判別式を $D$ とすると、求める $k$ の値の範囲は $D\geqq 0$ の範囲ですので、 $D=4k^{2}-8k+1$ より $k\gt 0$ であることから

$\displaystyle 0\lt k\leqq \frac{2-\sqrt{3}}{2},\ \frac{2+\sqrt{3}}{2}\leqq k$

となります。

$k$ の値が変化すると2つの曲線の交点の個数が変化しますが、 $k=2$ のとき、上のグラフの尖っている部分が放物線の頂点になりますので、このときだけ交点の個数が3個になります。

いかがだったでしょうか？

グラフが $y$ 軸に関して対称なものしか出てきていませんので、解きやすい問題かと思います。

首都大学東京では絶対値を含む関数の問題がよく出ています。

絶対値記号の扱いは、その中身の符号が正のときと負のときに場合分けをして考えるのが基本となります。

その基本事項をきちんと守れば難しくは無い問題です。

　

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