マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2015年前期日程第3問】

微分積分入試問題

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今週は首都大学東京2015年・2016年の問題です。

今回は文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

指数関数の最小値問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

この問題は前半が後半のヒントとなっていますので、初めのほうでコケてしまうと全部コケてしまうので要注意です。

$f(x)=x^{3}-5x^{2}$ について $f^{\prime }(x)=3x^{2}-10x$ となりますので、 $f(x)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &0&\cdots &\displaystyle \frac{10}{3}&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow &0&\searrow &\displaystyle -\frac{500}{27}&\nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって、 $f(x)$ は $x=0$ のとき極大値 $0$ 、 $\displaystyle x=\frac{10}{3}$ のとき極小値 $\displaystyle -\frac{500}{27}$ をとることがわかります。

後半はこれを用いて進めます。

$g(x)$ を $3^{x}+3^{-x}=t$ とおくと

$g(x)=t^{3}-5t^{2}+10$

となりますが、 $g(x)=f(t)+10$ であることに気が付けば、上の増減表がほぼそのまま使うことができます。

$t$ のとりうる値の範囲は、相加平均と相乗平均の関係より $t\geqq 2$ ですので、上の増減表より $g(x)$ の最小値は $\displaystyle t=\frac{10}{3}$ すなわち $x=\pm 1$ のとき最小値 $\displaystyle -\frac{230}{27}$ をとることがわかります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は指数関数を置き換えにより3次関数に帰着する問題でした。

3次関数の増減と指数関数の置き換えはともに基礎問題ですので、是非ともおさえておきたい問題です。

相加平均と相乗平均の関係も忘れずにチェックしておきたいですね。

　

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