マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2015年前期日程第2問】

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今週は首都大学東京2015年・2016年の問題です。

今回は2015年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平行四辺形に関するベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

平行四辺形もよく出る問題です。

平行四辺形の性質として

・向かい合う2組の辺がそれぞれ平行

・向かい合う2組の辺がそれぞれ等しい

・向かい合う2組の角がそれぞれ等しい

・2本の対角線はそれぞれの中点で交わる

がありますが、この性質については中学で習っていますのでここを忘れていれば早急に復習が必要です。

平行四辺形の定義は、上の性質の

・向かい合う2組の辺がそれぞれ平行

であることですので、残りの3つの性質はこの定義と平行線の性質、三角形の合同を用いて証明することが可能です。

図形の問題は図を描くことが基本です。図を描くと次のようになります。

 \triangle ADP \angle DPA=90^{\circ }の直角三角形です。

また、四角形 ABCDは平行四辺形ですので、向かい合う2組の角が等しいことから \angle ADP=60^{\circ }となります。

したがって、 AP=3\sqrt{3}となります。

 Qは線分 BD上にありますので、実数 tを用いて

 \overrightarrow{AQ}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}

とおくことができます。

 AQ\perp ADより \overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{AD}=0となりますので、これを用いて t xで表すと

 \displaystyle t=\frac{x}{12+x}

となりますので \overrightarrow{AQ}=\frac{x}{12+x}\vec{a}+\frac{12}{12+x}\vec{b}となります。

 AP=AQのとき |\overrightarrow{AQ}|=27ですので、ここから xの値を求めると x=12となります。

 AB=xとおいたので、このときの ABの長さは 12です。

 \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}

 \displaystyle =-\frac{12}{12+x}\vec{a}+\left( \frac{12}{12+x}-\frac{3}{x}\right) \vec{b}

となりますが、 PQ//ADのとき \overrightarrow{PQ}=k\vec{a}の形になりますので \displaystyle \frac{12}{12+x}-\frac{3}{x}=0となります。

この方程式を解くと x=4となりますので、 ABの長さは 4ということになります。

いかがだったでしょうか?

意外と中学の知識が必要な問題でした。

平行四辺形の性質については中学2年で習う内容となりますので、ここを忘れていれば復習が必要になっていきます。

中学数学も馬鹿にはできませんので、要注意です。

 

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