徳島県教員採用試験の問題【2017年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です

今回の問題の原文

$OA,\ OB,\ OC$ を3つの辺とする平行六面体 $OADB-CQPR$ において、 $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b},\ \overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、3点 $O,\ G,\ P$ は一直線上にあることを示し、 $OG:OP$ を求めなさい。

(2)辺 $RP$ の $P$ を超える延長上に $RP=PS$ となる点 $S$ をとり、直線 $OS$ と平面 $DQR$ の交点を $T$ とするとき、 $\overrightarrow{OT}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ を用いて表しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平行六面体とベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$OG:OP$ を求める

まず、3点 $O,\ G,\ P$ が一直線上にあることを証明してみます。与えられている平行六面体の図は次のようになっています。

この図より $\overrightarrow{OP}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ であることがわかります。また、点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心ですので

$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$

となります。これらの2式を見比べると $\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$ となっていますので、3点 $O,\ G,\ P$ は一直線上にあることが言えます。また、この式から $OG:OP=1:3$ であることもわかります。

$\overrightarrow{OT}$ を求める

点 $S$ は辺 $RP$ の点 $P$ を超える延長上で $RP=PS$ となる点ですので

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}&=&\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PS}\\ &=&\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{a}\\ &=&2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\end{eqnarray*}$