マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第3問】

数と式教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は多項定理に関する問題です。

今回の問題の原文

$\displaystyle \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) ^{6}$ の展開式において $x^{3}$ の係数を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

多項定理を使って係数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\displaystyle \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) ^{6}$

$\displaystyle = \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right)$

$\displaystyle \hspace{2em}\times \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right)$

と考えて、同じ文字を含む順列と同じように考えます。

例えば、 $(a+b+c)^{4}$ の展開式における $a^{2}bc$ の係数は、 $a$ を2個、 $b$ を1個、 $c$ を1個の合計4文字を1列に並べる総数と等しくなります。

$x^{3}$ となるには

(1) $x^{2}$ を2回、 $1$ を3回、 $\displaystyle \frac{1}{x}$ を1回

(2) $x^{2}$ を3回、 $\displaystyle \frac{1}{x}$ を3回

かければ良いです。(1)の場合は $\frac{6!}{2!3!}=60$ 、(2)の場合は $\frac{6!}{3!3!}=20$ ですので、これらの和が展開式における $x^{3}$ の係数になります。

$60+20=80$

いかがだったでしょうか？

多項定理や二項定理は同じ文字を含む順列と同じように考えるとわかりやすいのではないかと思います。

二項定理は公式を覚えさせられるかもしれませんが、係数を求めるだけなら計算するだけで良いです。

油断していると出てくるかもしれませんので二項定理や多項定理もわすれないようにしておきたいですね。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper