徳島県教員採用試験の問題【2013年中高共通第5問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし、 $\log_{10}{2}=0.3010,\ \log_{10}{3}=0.4771$ とする。

(1) $6^{30}$ は何桁の整数か求めなさい。

(2) $6^{30}$ の最高位の数字を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

整数の桁数と最高位の数字を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

問題の解き方を順番に考えていきます。

$6^{30}$ の桁数を求める

$6^{30}$ の常用対数を取ると

$\begin{eqnarray*} \log_{10}{6^{30}}&=&30\log_{10}{6}\\ &=&30(\log_{10}{2}+\log_{10}{3}\\ &=&30\times (0.3010+0.4771)\\ &=&30\times 0.7781\\ &=&23.343\end{eqnarray*}$

となります。したがって $23\lt \log_{10}{6^{30}}\lt 24$ を満たしますので、 $6^{30}$ は $24$ 桁の整数になります。

$6^{30}$ の最高位の数字を求める

先ほどの計算から $6^{30}=10^{0.343}\times 10^{23}$ であることがわかります。ですので、 $10^{0.343}$ の部分に注目して考えます。この数の常用対数を取ると、その値は $0.343$ となります。与えられている常用対数の値から

$\log_{10}{2}\lt 0.343\lt \log_{10}{3}$

ですので、 $10^{0.343}$ の整数部分が $2$ であることがわかります。よって、 $6^{30}$ の最高位の数字は $2$ となります。

いかがだったでしょうか？

常用対数を用いて桁数を求める問題は基礎問題になりますので、解けておいたほうが良い問題です。

最高位の数字の求め方も覚えておくほうが良さそうです。

もう少し難しい問題になると、最高位から2番目、3番目を求めさせる問題が出題されることがありますので、その方法も知っておいたほうが得かもしれません。

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