徳島県教員採用試験の問題【2013年中高共通第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

$\triangle ABC$ の内部に点 $P$ があり、 $13\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ を満たしている。線分 $AP$ の延長が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とするとき、 $\triangle PAB:\triangle PCD$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルを用いて三角形の面積比を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の問題の解き方をを順番に考えていきます。

A始点でベクトルを表す

条件式 $13\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ を変形します。ベクトルの基本計算 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ と $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ を用いて変形すると

$-13\overrightarrow{AP}+2(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})+3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})=\vec{0}$

したがって $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=18\overrightarrow{AP}$ となります。この両辺を $18$ で割ると

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

となります。

$\overrightarrow{AD}$ を求める

点 $D$ は直線 $AP$ 上にありますので、 $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}$ となる実数 $k$ が存在します。また、点 $D$ は辺 $BC$ 上にありますので、

$\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$

と表したとき $s+t=1$ となります。この2つの条件を用いると、先ほど求めた $\overrightarrow{AP}$ を用いると

$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{9}k\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}k\overrightarrow{AC}$

と表すことができ、 $\displaystyle \frac{1}{9}k+\frac{1}{6}k=1$ となります。ここから $k$ の値を求めると、 $\displaystyle k=\frac{18}{5}$ となりますので、

$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$

となります。

点Pと点Dの位置を割り出す

先ほど $\displaystyle k=\frac{18}{5}$ と求められましたので、 $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{18}{5}\overrightarrow{AP}$ であることがわかりました。このことを用いると $AD:AP=18:5$ となります。したがって、 $AP:PD=5:13$ となります。また、

$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{3+2}$

ですので、点 $D$ は辺 $BC$ を $3:2$ に内分する点であることがわかります。

面積比を求める

$\triangle PAB$ と $\triangle ABD$ は高さが共通ですので、面積比は底辺の線分の比で求めることができます。また、 $\triangle ABD$ と $\triangle ABC$ の高さが共通ですので、この2つの三角形の面積比も底辺の線分の比で求めることができます。よって