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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第4問です。
今回の問題の原文
の内部に点
があり、
を満たしている。線分
の延長が辺
と交わる点を
とするとき、
を求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
ベクトルを用いて三角形の面積比を求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
今回の問題の解き方をを順番に考えていきます。
A始点でベクトルを表す
条件式を変形します。ベクトルの基本計算
と
を用いて変形すると
したがってとなります。この両辺を
で割ると
となります。
を求める
点は直線
上にありますので、
となる実数
が存在します。また、点
は辺
上にありますので、
と表したときとなります。この2つの条件を用いると、先ほど求めた
を用いると
と表すことができ、となります。ここから
の値を求めると、
となりますので、
となります。
点Pと点Dの位置を割り出す
先ほどと求められましたので、
であることがわかりました。このことを用いると
となります。したがって、
となります。また、
ですので、点は辺
を
に内分する点であることがわかります。
面積比を求める
と
は高さが共通ですので、面積比は底辺の線分の比で求めることができます。また、
と
の高さが共通ですので、この2つの三角形の面積比も底辺の線分の比で求めることができます。よって
も同様に
を用いて表すと
となります。よって、
と
の面積比は
となります。
いかがだったでしょうか?
面積比を求める問題は底辺と高さを確認することが重要です。
底辺高さで求めることが基本になりますが、高さが同じであれば、底辺の線分の比で面積比を求めることができます。
図を描いて確認していくことが大切な問題です。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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