徳島県教員採用試験の問題【2013年中高共通第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

$2x^{2}+3xy-2y^{2}-3x+4y-5=0$ を満たす整数 $x,y$ をすべて求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

因数分解等で式変形して、条件を満たす整数の組を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

条件式の左辺を次のように変形していきます。

$2x^{2}+3xy-2y^{2}-3x+4y-5$

$=2x^{2}+(3y-3)x-(2y^{2}-4y+2)-3$

$=2x^{2}+(3y-3)x-2(y-1)^{2}-3$

$=\{ 2x-(y-1)\} \{ x+2(y-1)\} -3$

$=(2x-y+1)(x+2y-2)-3$

したがって、条件式は $(2x-y+1)(x+2y-2)=3$ と変形することができます。 $x,y$ は整数ですので、 $2x-y+1$ と $x+2y-2$ は整数となります。このことから、次の4つの連立方程式が考えられます。

$(1)\left\{ \begin{array}{ccc} 2x-y+1&=&1\\ x+2y-2&=&3\end{array}\right.\ \ \ (2)\left\{ \begin{array}{ccc} 2x-y+1&=&-1\\ x+2y-2&=&-3\end{array}\right.$

$(3)\left\{ \begin{array}{ccc} 2x-y+1&=&3\\ x+2y-2&=&1\end{array}\right.\ \ \ (4)\left\{ \begin{array}{ccc} 2x-y+1&=&-3\\ x+2y-2&=&-1\end{array}\right.$

これらの連立方程式を解くと、(1)は $(x,y)=(1,2)$ 、(2)は $(x,y)=(-1,0)$ 、(3)は $\displaystyle (x,y)=\left( \frac{7}{5},\frac{4}{5}\right)$ 、(4)は $\displaystyle (x,y)=\left( -\frac{7}{5},\frac{6}{5}\right)$ となりますが、 $x$ と $y$ が整数であることより、 $(x,y)=(1,2)$ と $(x,y)=(-1,0)$ が求める解になります。