徳島県教員採用試験の問題【2020年中高共通第2問】

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今回の問題

今週は2020年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)等式 $\displaystyle \cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$ が成り立つことを示しなさい。

(2) $k,\ n$ を自然数とするとき、(1)の等式を利用して

$\displaystyle \cos{\left( k-\frac{1}{2}\right) x}-\cos{\left( k+\frac{1}{2}\right) x}$

を計算し、それを用いて $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sin{kx}$ を求めなさい。ただし、 $x\not= m\times 180^{\circ }$ （ $m$ は整数）とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数で表された和を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

和積の公式

元の問題の方には等式 $\displaystyle \cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$ が成り立つことを証明するように要請されています。よく言われる三角関数の和積の公式です。この公式は教科書に載っているものもあれば、載っていないものもあります。チャート式のような参考書には載っていますので、そこで補う必要があります。試験範囲に数学Ⅲが含まれる場合は微分積分の問題で使いますので、覚えておいたほうが良いです。以下は今回の等式の証明です。

$\displaystyle A=\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2},\ B=\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}$ より、加法定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}-\cos{B}&=&\cos{ \left( \frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2}\right) }-\cos{\left( \frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}\right) } \\ &=&\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\\ &&-\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\\ &=&-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\end{eqnarray*}$

$S_{n}$ を求める

先程の和積の公式を用いると

$\displaystyle \cos{\left( k-\frac{1}{2}\right) x}-\cos{\left( k+\frac{1}{2}\right) x}=2\sin{kx}\sin{\frac{x}{2}}$

となりますので

$\displaystyle \sin{kx}=\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}}\left( \cos{\left( k-\frac{1}{2}\right) x}-\cos{\left( k+\frac{1}{2}\right) x}\right)$

となります。先程の和積の公式を繰り返し使って $S_{n}$ を求めると

$\begin{eqnarray*} S_{n}&=&\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}}\sum_{k=1}^{n}\left( \cos{\left( k-\frac{1}{2}\right) x}-\cos{\left( k+\frac{1}{2}\right) x}\right) \\ &=&\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}}\left( \cos{\frac{x}{2}}-\cos{\left( n+\frac{1}{2}\right) x}\right) \\ &=&\frac{\sin{\frac{n+1}{2}x}\sin{\frac{n}{2}x}}{\sin{\frac{x}{2}}}\end{eqnarray*}$