徳島県教員採用試験の問題【2012年中高共通第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2012年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

自然数 $n$ が $n$ 個続く次のような数列がある。

$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ \cdots$

初項から第200項までの和を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

群数列の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

数列を次のように群分けをします。

$1|,\ 2,\ 2|,\ 3,\ 3,\ 3|,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4|,\ 5,\ 5,\ \cdots$

$k$ 番目の群に $k$ 個の自然数 $k$ がありますので、 $k$ 番目に属する項の和は $k\times k=k^{2}$ となります。あとは第200項の自然数と、その自然数が何番目になるのかを求めます。

$\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\lt 200\leqq \frac{1}{2}n(n+1)$

を満たす自然数 $n$ を求めると $n=20$ となります。このとき $\displaystyle \frac{1}{2}\times 20\times 19=190$ となりますので、第200項は $200-190=10$ 番目の $20$ であることがわかります。したがって、初項から第200項までの和は