マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220803

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今週は東京未来大学2018年の問題です。

今回は1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

2次関数の対称移動の問題と2次関数の決定問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)放物線の頂点は平方完成により求めます。

問題の放物線の式を平方完成すると \displaystyle y=\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+3となります。

一般に、曲線 y=f(x)

 x軸に関して対称移動した曲線は -y=f(x)

 y軸に関して対称移動した曲線は y=f(-x)

・原点に関して対称移動した曲線は -y=f(-x)

となりますので、このことに当てはめて考えると

放物線 \displaystyle y=x^{2}-x+\frac{13}{4} x軸に関して対称移動した放物線は \displaystyle y=-x^{2}+x-\frac{13}{4}、原点に関して対称移動した放物線は \displaystyle y=-x^{2}-x-\frac{13}{4}となります。

(2)3点を通る放物線は y=ax^{2}+bx+cとおいて、連立方程式を立ててその方程式を解きます。

3点 (-2,-5),(1,5),(2,7)を通る放物線を y=ax^{2}+bx+cとおくと、 a,b,c連立方程式

 \left\{ \begin{array}{ccc} 4a-2b+c&=&-5\\ a+b+c&=&5\\ 4a+2b+c&=&7 \end{array} \right.

を満たします。この連立方程式の解は \displaystyle a=-\frac{1}{3},b=3,c=\frac{7}{3}ですので、求める放物線の式は \displaystyle y=-/frac{1}{3}x^{2}+3x+\frac{7}{3}となります。

 x軸に接する放物線の式を求める場合は y=a(x-p)^{2}とおいて a p連立方程式を立てて値を求めます。

 x軸に接し、点 (1,3),(3,3)を通る放物線の式を y=a(x-p)^{2}とおくと、 a,p連立方程式

 \left\{ \begin{array}{ccc} a(1-p)^{2}&=&3\\ a(3-p)^{2}&=&3\end{array} \right.

を満たします。この連立方程式の解は a=3,p=2ですので、求める放物線の式は y=3(x-2)^{2}となります。

この式を展開すれば y=3x^{2}-12x+12となります。

いかがだったでしょうか?

これらの問題は教科書の例や例題に載っていますので、復習しておいたほうが良さそうです。

解法さえ身に付ければ難なく解けます。

放物線の決定の問題は早く求める方法がYouTubeで上がっているようですが、こういうのは基礎をしっかり理解してから使うほうが安全です。

 

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