マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220812

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は東京未来大学2019年の問題です。

今回は2日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図から2次関数を求めていく問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次関数のグラフは放物線で、軸に関して線対称な図形になります。

図では点 Aと点 Bが与えられていますが、この2点は y座標が一致しています。

したがって、線分 ABの中点である点 (2,5)が放物線の軸が通る点ですので、この放物線の軸は x=2です。

(1)この放物線の式が y=x^{2}+bx+cという形にかけるとき、2点 A(-2,5),\ B(6,5)を通るので次の連立方程式が成り立ちます。

 \left\{ \begin{array}{ccc} 4-2b+c&=&5\\ 36+6b+c&=&5\end{array}\right.

この連立方程式を解くと b=-4,\ c=-7となりますので、この放物線の式は y=x^{2}-4x-7であることがわかります。

平方完成すると y=(x-2)^{2}-11ですので、頂点は (-2,-11)となります。

(2)この放物線が y=dx^{2}+ex+h\ (d>0,\ d\not=1)の形にかけるとき、2点 A(-2,5),\ B(6,5)を通るので次の連立方程式が成り立ちます。

 \left\{ \begin{array}{ccc} 4d-2e+h&=&5\\ 36d-6e+h&=&5\end{array} \right.

この連立方程式 e hについて解くと e=-4d,\ h=5-12dとなります。

したがって放物線の式は y=dx^{2}-4dx+5-12dとなります。

この問題において必要となるのは、この放物線と x軸との交点の x座標になりますので、このままの形で扱います。

 x2次方程式 dx^{2}-4dx+5-12d=0を解くと、 \displaystyle x=\frac{2d\pm \sqrt{16d^{2}-5d}}{d}となりますので、この解の大きいほうから小さいほうを引いた差が CDの長さになります。

 \displaystyle \frac{2d+\sqrt{16d^{2}-5d}}{d}-\frac{2d-\sqrt{16d^{2}-5d}}{d}=\frac{2\sqrt{16d^{2}-5d}}{d}

いかがだったでしょうか?

図の座標から2次関数を求める問題でしたが、少し変わった問題で面白かったです。

問題文に「プリントを破いてしまった」と書いてありましたが大事なプリントを破くことなんてあるのでしょうかね?

もしかして、コーヒーとかこぼした?

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper