マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題ver.20220904

微分積分入試問題

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今週は東京女子大学2016年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

面積の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次方程式 $x^{2}-5x+8=0$ の判別式を $D$ とすると

$D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=25-32\lt 0$

であるので、放物線 $y=x^{2}-5x+8$ は $x$ 軸より常に上側にあります。

図に描くと次のようになります。

したがって、

$\displaystyle S(a)=\int_{a}^{2a+1}(x^{2}-5x+8)dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+8x\right] _{a}^{2a+1}$

$\displaystyle =\frac{7}{3}a^{3}-\frac{7}{2}x^{2}+\frac{35}{6}$

となります。 $S(a)$ の増減を調べると

$\displaystyle \frac{dS}{da}(a)=7a^{2}-7a$

であることから、 $S(a)$ の増減表は $a\geqq 0$ のとき

$\begin{array}{|c|c|c|c|c} \hline x&0&\cdots &1&\cdots \\ \hline \displaystyle \frac{dS}{da}(a)&&-&0&+\\ \hline S(a)&\displaystyle \frac{35}{6}&\searrow&\displaystyle \frac{14}{3}&\nearrow \\ \hline \end{array}$

のようになります。

よって、この増減表から $S(a)$ は $a=1$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{14}{3}$ をとります。

いかがだったでしょうか？

この問題も昨日の問題と同じくシンプルでした。

やっていることはほとんど同じではないでしょうか。

ただ、積分計算が大変ですのでここに注意が必要です。

　

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