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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
目次
・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜
今回の問題
今週は2021年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第3問です。
今回の問題の原文（記述式）
次の図のような(図は上の画像をご参照ください)、一辺の長さが3の立方体があり、立方体の各面は一辺の長さが1の正方形に碁盤目状に区切られている。頂点
から頂点
までの碁盤目状の辺をたどっていくときの最短経路を考える。あとの(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)頂点を通過する最短経路は全部で何通りあるか求めなさい。
(2)辺上の点を通過する最短経路は全部で何通りあるか求めなさい。
(3)辺上の点または辺
上の点を通過する最短経路は全部で何通りあるか求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
最短経路が何通りあるかを求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
点
を通過する最短経路
点から点
までの最短経路は、辺
の方向に3回、辺
の方向に3回進めばいいので、その場合の数は「↓」3つと「→」3つを並べる同じ文字を含む順列として考えると
通り
あります。点から点
までの最短経路は辺
の方向に3回進めばいいので、1通りです。したがって、点
を通る点
から点
までの最短経路は
通りになります。
辺
上の点を通過する最短経路
少し雑ですが、以下のような碁盤目状の経路を考えてみます。
この碁盤目状の経路で点から点
の最短経路を考えるのですが、どのような経路をたどっても辺
上の点を通過しますので、点
から点
への最短経路の総数は「↓」6つと「→」3つを並べる同じ文字を含む順列として考えると
通り
のように求めることができます。
辺または辺
上の点を通過する最短経路
辺上の点を通過する最短経路も先程と同じように求めると
通りあります。辺
を通る最短経路と辺
を通る最短経路のうち、点
を通る最短経路を2回カウントしていますので、辺
上の点または辺
上の点を通過する最短経路の総数は
通り
となります。
いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜
立体図形の面上を通る最短経路を求める問題でした。
空間図形のままで考えると解きづらいので、一度平面を取り出して考えてみます。
そうすると、解く方針が見えてきますので、必要な部分だけ平面図形を取り出して考えてみるほうが良いかと思います。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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