ベクトルの問題ver.20220606 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は教員採用試験で出題されたベクトルの問題です。

今回は島根県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

文字が含まれていますが、計算は根気強く、基本に忠実にやっていけば答えに行き着くかと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

ベクトルの基本は $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ です。

これを使うとベクトルのほとんどの問題が解決できますのでバカにはできません。

(1)まず点 $R$ の位置がどこにあるかを理解します。

点 $R$ は線分 $OQ$ の中点ですので、 $\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OQ}$ となります。

したがって、点 $Q$ の情報が必要となります。

点 $Q$ は線分 $PC$ を $m:n$ に内分する点ですので、 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{n\overrightarrow{OP}+m\overrightarrow{OC}}{m+n}$ となります。

よって、 $\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ m,\ n$ を用いて表すには $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ m,\ n$ を用いて表せば良いということになります。

点 $P$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点ですので $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{2+1}$ となります。

あとは順次 $\overrightarrow{OQ}$ と $\overrightarrow{OR}$ を求めていきます。

(2) $\overrightarrow{OT}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ m,\ n$ を用いて表すことを考えます。

点 $T$ は直線 $OS$ 上にありますので、 $\overrightarrow{OT}=t\overrightarrow{OS}$ となるような実数 $t$ が存在します。

したがって、 $\overrightarrow{OS}$ を求める必要がありますが、そのために $\overrightarrow{AS}$ を求めます。

点 $S$ は直線 $AR$ と面 $\triangle OBC$ との交点ですので、 $\overrightarrow{AS}=k\overrightarrow{AR}$ となる実数 $k$ が存在します。

$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AS}$ であることを用いて、実数 $k$ を $m,\ n$ を用いて表しますが、点 $S$ は $\triangle OBC$ と同じ平面にありますので $\vec{a}$ の係数は0です。