マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

ベクトルの問題ver.20220607

ベクトル教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題されたベクトルの問題です。

今回は徳島県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

内分点と面積比に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)条件式を変形していくと

$6\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\vec{0}$

$6\overrightarrow{PA}+5(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB})+4(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}$

$15\overrightarrow{PA}=-5\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}$

$-15\overrightarrow{AP}=-5\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}$

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}$

(2)点 $D$ は直線 $AP$ 上にありますので、 $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}$ を満たす実数 $k$ が存在します。

したがって $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}k\overrightarrow{AB}+\frac{4}{15}k\overrightarrow{AC}$ となります。

また、点 $D$ は辺 $BC$ 上にありますので $\displaystyle \frac{1}{3}k+\frac{4}{15}k=1$ を満たします。

よって、 $\displaystyle k=\frac{5}{3}$ であることがわかりますので $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}=\frac{5\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{4+5}$ となります。

これは点 $D$ が辺 $BC$ を $4:5$ に内分する点であることを示しています。

さらに、 $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AP}$ ですので、点 $P$ は線分 $AD$ を $3:2$ に内分する点であることがわかります。

あとは $\triangle APC$ の面積と $\triangle BPD$ の面積が $\triangle ABC$ の何倍になっているかを調べて面積比を求めます。

いかがだったでしょうか？

前半はベクトルの基本問題、後半は図形の性質でよく見かける面積比を求める問題でした。

いずれも基礎問題ですので是非とも解けておきたい問題です。

　

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