徳島県教員採用試験の問題【2009年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2009年実施の徳島県教員採用試験専門数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文

1辺の長さが1の正三角形 $\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $M$ 、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $C$ とする。また、線分 $BM$ と線分 $AC$ の交点を $P$ とするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とするとき $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表しなさい。

(2) $|\overrightarrow{OP}|$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2本の線分の交点の位置ベクトルを求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

点 $P$ は線分 $AC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて表すと、 $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\vec{b}$ であることに注意して

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}&=&t\overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OC}\\ &=&t\vec{a}+\frac{2}{3}(1-t)\vec{b}\end{eqnarray*}$

と表すことができます。また、点 $P$ は線分 $BM$ 上にありますので、実数 $s$ を用いて表すと、 $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec{a}$ であることに注意して

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}&=&s\overrightarrow{OB}+(1-s)\overrightarrow{OM}\\ &=&\frac{1}{2}(1-s)\vec{a}+s\vec{b}\end{eqnarray*}$

と表すことができます。 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではなく、 $\vec{0}$ でもありませんので、ベクトルの表し方の一意性より次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} t&=&\displaystyle \frac{1}{2}(1-s)\\ \displaystyle \frac{2}{3}(1-t)&=&s\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $\displaystyle t=\frac{1}{4},\ s=\frac{1}{2}$ となりますので

$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

となります。 $\triangle OAB$ は1辺の長さが1の正三角形ですので、 $\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ となります。したがって

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{OP}|^{2}&=&|\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}|^{2}\\ &=&\frac{1}{16}|\vec{a}|^{2}+\frac{1}{4}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{4}|\vec{b}|^{2}\\ &=&\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\\ &=&\frac{7}{16}\end{eqnarray*}$