徳島県教員採用試験の問題【2022年中高共通第1問】

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回の問題

今週は2022年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

(1) $\displaystyle x=\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ のとき、 $x^{3}y-2x^{2}y^{2}+xy^{3}$ の値を求めなさい。

(2)袋Aには赤玉3個、白玉5個、袋Bには赤玉4個、白玉4個、袋Cには赤玉6個、白玉2個が入っている。1個のさいころを投げて、1,2,3の目が出たときは袋Aから、4,5の目が出たときは袋Bから、6の目が出たときは袋Cから玉を1個取り出す。このとき、次の(a)・(b)の問いに答えなさい。

(a)取り出した玉が赤玉である確率を求めなさい。

(b)取り出した玉が赤玉であるときに、それが袋Aから取り出された玉である確率を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

対称式の問題と確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)の問題について

対称式の問題です。対称式は基本対称式で表すことが方針です。今回は2文字の対称式を扱いますので、 $x+y$ と $xy$ の値がわかれば大丈夫です。 $x$ と $y$ の値が与えられていますが、このままでは $x+y$ が計算できませんので分母の有理化を行います。

$\begin{eqnarray*} x&=&\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}\\ &=&\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}\\ &=&\sqrt{7}+\sqrt{3}\\ y&=&\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}\\ &=&\sqrt{7}-\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

となりますので $x+y=2\sqrt{7},\ xy=4$ です。したがって

$\begin{eqnarray*} x^{3}y-2x^{2}y^{2}+xy^{3}&=&xy(x^{2}-2xy+y^{2})\\ &=&xy\{ (x+y)^{2}-4xy\} \\ &=&4(28-16)\\ &=&48\end{eqnarray*}$

のように求めることができます。

(2)の問題について

確率の問題です。さいころ投げという試行と袋から取り出す試行は独立していますので、それぞれの確率をかけると求めることができます。したがって、赤玉を取り出す確率は

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times \frac{3}{8}+\frac{1$ {3}\times \frac{4}{8}+\frac{1}{6}\times \frac{6}{8}&=&\frac{3}{16}+\frac{4}{24}+\frac{6}{48}\\ &=&\frac{9}{48}+\frac{8}{48}+\frac{6}{48}\\ &=&\frac{23}{48}\end{eqnarray*}]