円に内接する四角形の問題【ベーシックスタイルStyle19】

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今週は2021年徳島県教員採用試験専門教養数学の問題ですが、問題の選定の都合上、今回は大学受験用問題集の「ベーシックスタイル」からの問題です。

今回はStyle 19の問題です。

円に内接する四角形 $ABCD$ において、 $AB=3,\ BC=2,\ CD=4,\ DA=4$ とする。このとき、対角線 $BD$ の長さは（ア）であり、四角形 $ABCD$ の面積は（イ）である。

難易度は☆☆☆です。

円に内接する四角形の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

円に内接する四角形の向かい合う角の和は $180^{\circ }$ です。これと $\cos{(180^{\circ }-\theta )}=-\cos{\theta }$ であることを用いて四角形の面積を求めます。 $\triangle ABD$ に余弦定理を用いると

$BD^{2}=25-24\cos{A}$ …①

$\triangle BCD$ に余弦定理を用いると

$BD^{2}=20+16\cos{A}$ …②

が成り立ちます。①と②は同時に成り立ちますので、この2式を連立して $\cos{A}$ の値と $BD$ の値を求めます。①と②より

$\beginb{eqnarray*} 25-24\cos{A}&=&20+16\cos{A}\\ 5&=&40\cos{A}\\ \cos{A}=\frac{1}{8}\end{eqnarray*}$

となります。求めた $\cos{A}$ の値を①または②に代入すると $BD=\sqrt{22}$ になります。

四角形 $ABCD$ の面積は $\triangle ABD$ の面積と $\triangle BCD$ の面積の和と考えると、三角比の相互関係から $\displaystyle \sin{A}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$ であるので

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 3times 4\times \frac{3\sqrt{7}}{8}+\frac{1}{2}\times 4\times 2\times \frac{3\sqrt{7}}{8}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

となります。

円に内接する四角形に関する問題でした。

この問題は教科書の節末問題や章末問題にもよく出ていますので、解けておきたい問題です。

特に出題範囲が「数学Ⅰ」「数学A」までの大学入試ではよく出題されますので要注意な問題です。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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