マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2021年2日目第1問】

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部2日目第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

円に内接する四角形の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle ADC$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle AC^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\times 1\times \sqrt{3}\times \left( \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=6$

ですので、 $AC\gt 0$ より $AC=\sqrt{6}$ となります。

四角形 $ABCD$ の面積は $\triangle ADC$ と $\triangle ABC$ に分けて考えます。

辺 $AB$ は円の直径ですので、円周角の定理より $\triangle ABC$ は $\angle BCA=90^{\circ }$ の直角三角形です。

四角形 $ABCD$ は円に内接しますので、 $\displaystyle \cos{\angle CBA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ となります。

三角関数の相互関係( $\displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}$ )を用いると $\tan{\angle CBA}=\sqrt{2}$ となりますので、 $BC=\sqrt{3}$ となります。

よって、 $\triangle ABC$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{3}= \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ です。

あとは $\triangle ADC$ の面積が求められれば四角形 $ABCD$ の面積が求められますが、[tex: \displaystyle \sin{\angle ADC}=\frac{\sqrt{6}}{3}ですので

$\displaystyle \triangle ADC=\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

となります。したがって、四角形 $ABCD$ の面積は $2\sqrt{2}$ となります。

いかがだったでしょうか？

円に内接する四角形の問題は教科書の節末問題にも載るくらい頻出な問題です。

正弦定理・余弦定理を使う問題といえばコレって言っても過言ではないかと思います。

高校1年の間に解けておきたい問題ですね。

　

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