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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は図形と性質の入試問題です。
今回の問題は2012年の代ゼミ高2模試の問題です。
都合により予定していた入試問題と差し替えました。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
正弦定理、余弦定理と三角形の面積の基本について問う問題かと思います。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
図は次のようになります。
ACの長さは余弦定理を用いて求めます。
三角形の外接円の半径は正弦定理で求めます。
三角形の面積の求め方はです。
CDの長さは△ABHが30°の角を持つ直角三角形なのでであることがわかります。
したがって、△ACHに三平方の定理を用いるとCH=2になります。
円周角の定理より∠ADC=30°であることがわかるので、△CDHが直角三角形であることからDC=4であることがわかります。
この時点で△BDHが直角三角形であることと、BH、DHの長さがわかりますので三平方の定理を使ってBDの長さを求めることができます。
四角形ABDCは円に内接しますので、∠ABD=∠ACPになります。
∠Pは共通なので△PBD∽△PCAになります。
このことを使ってPAとPCの長さを求めます。
いかがだったでしょうか？
BDを求めるところあたりまではすんなりいけました。
最後のPAとPCの長さを求めるのが難しかったです。
相似比を使ってゴリゴリやりましたが、スマートなやり方ってあるのかな？
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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