徳島県教員採用試験の問題【2012年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2012年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文

白玉2個、赤玉4個が入っている袋がある。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)この袋から玉を1個取り出し、色を調べてから元に戻すことを5回続けて行うとき、4回以上白玉が出る確率を求めなさい。

(2)この袋から玉を1個取り出し、色を調べてから玉を元に戻すと同時に、その玉と同じ色の玉を2個加える操作を繰り返す。このとき、次の(a)・(b)の問いに答えなさい。

(a)1回目と2回めともに白玉が取り出される確率を求めなさい。

(b)3回目に白玉が取り出される確率を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

赤玉・白玉に関する確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)の操作で5回の試行で4回以上白玉を引く確率

反復試行の確率になります。1回の試行で白玉が出る確率は{tex: \displaystyle \frac{1}{3}]ですので、4回白玉が出る確率は

$\displaystyle _{5}C_{4}\times \left( \frac{1}{3}\right) ^{4}\times \left( \frac{2}{3}\right) ^{1}=\frac{10}{243}$

5回とも白玉が出る確率は $\displaystyle \left( \frac{1}{3}\right) ^{5}=\frac{1}{243}$ ですので、4回以上白玉が出る確率はこれらの確率の和で $\displaystyle \frac{11}{243}$ となります。

(2)の操作で1回目2回目とも白玉を引く確率

操作方法に注意が必要です。玉を引いた後に、引いた玉と同じ色の玉を2個加えますので、2回目以降の状況が引いた玉の色によって変わってきます。1回目2回目とも白玉を引く確率は、1回目に白玉を引く確率が $\displaystyle \frac{1}{3}$ 、2回めに白玉を引く確率は、この時点で袋の中に白玉が4個、赤玉が4個入っていますので、この状況で白玉を引く確率は $\displaystyle \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ となります。したがって、1回目2回目とも白玉を引く確率は $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ となります。

(2)の操作で3回目に白玉を引く確率

3回目に白玉を引く状況は次の4パターンが考えられます。

・1回目、2回目、3回目とも白玉を引く。

・1回目に赤玉、2回目と3回目に白玉を引く。

・2回目に赤玉、1回目と3回目に白玉を引く。

・1回目と2回目に赤玉、3回目に白玉を引く。

それぞれの確率を求めていきます。

1回目、2回目、3回目とも白玉を引く確率は先ほどの状況から3回目に白玉を引けば良いので

$\displaystyle \frac{1}{6}\times \frac{6}{10}=\frac{1}{10}$

1回目が赤玉、2回目と3回目に白玉を引く確率は

・1回目を引く時点で袋の中に白玉2個、赤玉4個入っている。

・1回目に赤玉を引いたので、2回目を引く時点で袋の中には白玉2個、赤玉6個入っている。

・2回目に白玉を引いたので、3回目を引く時点で袋の中には白玉4個、赤玉6個入っている。

このような状況を考慮して確率を求めると、この場合に3回目に白玉を引く確率は $\displaystyle \frac{4}{6}\times \frac{2}{8}\times \frac{4}{10}=\frac{2}{15}$ となります。

この考え方と同じように他の場合の確率を求めていきます。2回目に赤玉、1回目と3回目に白玉を引く確率は $\displaystyle \frac{1}{15}$ 、1回目と2回目に赤玉、3回目に白玉を引く確率は $\displaystyle \frac{1}{10}$ となります。ここで考えた4パターンは同時に起こりませんので、ここまで求めた確率の和が求める確率になります。したがって、3回目に白玉を引く確率は次のようになります。