マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2007年中高共通第4問】

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今週は2007年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

数列 \{ a_{n}\}において、初項から第 n項までの和 S_{n} S_{n}=n^{2}-2nで表されるとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)一般項 a_{n}を求めなさい。

(2)次の和を求めなさい。

 \displaystyle T=\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+\frac{1}{a_{3}a_{4}}+\cdots +\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

数列の和から一般項を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 n\geqq 2のとき、 a_{n}=S_{n}-S_{n-1}ですので、今回の数列に当てはめて考えますと

 S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-2n-(n-1)^{2}+2(n-1)=2n-3

 a_{1}=S_{1}ですが、 S_{1}=1^{2}-2\times 1=-1となり、 n=1のときも成り立つことがわかります。したがって、 a_{n}=2n-3となります。

 \displaystyle \frac{1}{(2n-3)(2n-1)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{2n-3}\right)となりますので、これを用いると

 \displaystyle T=-\frac{n}{2n-1}

となります。

いかがだったでしょうか?

このタイプの数列の問題は大学入試においても基礎的な問題になります。

教科書用の問題集にも同様の問題が載っていますので、ぜひともマスターしておきたい問題です。

 

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