愛知工科大学の過去問【2020年工学部一般入試】

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今回の問題

愛知工科大学2020年工学部の一般入試の過去問です。

出題範囲は数学Ⅰ・数学A・数学Ⅱ・数学B（数列）・数学Ⅲ・数学C（ベクトル）です。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

第1問以外はマーク方式になっています。問題文をよく読めば解く方針が立てられると思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

点 $A(-1,1)$ と点 $B(2,4)$ を直径とする円の方程式を求めます。

円の中心は2点 $A,\ B$ の中点になりますので、その座標を求めると $\displaystyle \left( \frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$ となります。

円の半径は直径の半分となります。線分 $AB$ の長さは $3\sqrt{2}$ ですので、円の半径は $\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}$ です。

したがって、2点 $A,\ B$ を直径とする円の方程式は

$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y-\frac{5}{2}\right) ^{2}=\frac{9}{2}$

となります。

(1)先ほど求めた円と放物線 $y=x^{2}$ との交点は連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle \left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y-\frac{5}{2}\right) ^{2}&=&\displaystyle \frac{9}{2}\\ y&=&x^{2}\end{array}\right.$

を解くことになります。

放物線の式を円の式に代入すると

$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( x^{2}-\frac{5}{2}\right) ^{2}=\frac{9}{2}$

となります。この方程式を解いていくと

$\begin{eqnarray*} \left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( x^{2}-\frac{5}{2}\right) ^{2}&=&\frac{9}{2}\\ x^{2}-x+\frac{1}{4}+x^{4}-5x^{2}+\frac{25}{4}-\frac{9}{2}&=&0\\ x^{4}-4x^{2}-x+2&=&0\\ (x+1)(x-2)(x^{2}+x-1)&=&0\end{eqnarray*}$

$x=-1$ は点 $A$ の $x$ 座標、 $x=2$ は点 $B$ の $x$ 座標なので、点 $P$ の $x$ 座標が満たす方程式は

$x^{2}+x-1=0$

となります。

(2)(1)で導き出した方程式を2次方程式の解の公式を用いて解くと $\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ となります。

(3)(2)の値に対して $\displaystyle x^{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ となりますので、点 $P$ の座標は

$\displaystyle P\left( \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2},\frac{3\mp \sqrt{5}}{2}\right)$ （複号同順）

となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

(1) $sin{(\pi +\theta )}=-\sin{\theta }$ と $\sin{(-\theta )}=-\sin{\theta }$ であることを用いると

$\begin{eqnarray*} \sin{\frac{7}{5}\pi }&=&\sin{\left( \pi +\frac{2}{5}\pi \right) }\\ &=&-\sin{\frac{2}{5}\pi }\\ &=&\sin{\left( -\frac{2}{5}\pi \right) }\end{eqnarray*}$

条件と $\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leqq \alpha \leqq \frac{\pi }{2}$ であることより $\displaystyle \alpha =-\frac{2}{5}\pi$ となります。

また、加法定理を用いると $\cos{(2\pi -\theta )}=\cos{\theta }$ が成り立つので

$\begin{eqnarray*} \cos{\frac{7}{5}\pi }&=&\cos{\left( 2\pi -\frac{3}{5}\right)}\\ &=&\cos{\frac{3}{5}\pi }\end{eqnarray*}$

となります。したがって、条件より $\displaystyle \beta =\frac{3}{5}\pi$ であることがわかります。

このことから、 $\displaystyle \cos{(\alpha +\beta )}=\cos{\frac{1}{5}\pi }$ となります。

半角の公式を用いて $\cos{(\alpha +\beta )}$ の値を求めると

$\begin{eqnarray*} \cos^{2}{\frac{1}{5}\pi }&=&\frac{1+\cos{\frac{2}{5}\pi }}{2}\\ &=&\frac{1+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}}{2}\\ &=&\frac{4-1+\sqrt{5}}{8}\\ &=&\frac{6+2\sqrt{5}}{16}\end{eqnarray*}$

となるので、 $\displaystyle \cos{\frac{1}{5}\pi }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ となります。

(2) $t=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ とおくと、倍角の公式を用いると $t^{2}=1+\sin{2\theta }$ となります。

したがって、 $y$ を $t$ で表すと

$y=t^{2}-2t+2$

となります。これは $t$ の2次関数なので、平方完成をして

$y=(t-1)^{2}+1$

とします。置いた $t$ を変形すると $\displaystyle t=\sqrt{2}\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) }$ となります。

$\theta$ の取りうる値が $\displaystyle -\frac{\pi }{4}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{4}$ なので $\displaystyle 0\leqq \theta +\frac{\pi }{4}\leqq \frac{\pi }{2}$ です。したがって、 $t$ の取りうる値の範囲は $0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ となります。

よって、 $y$ は

$t=0$ すなわち $\displaystyle \theta =-\frac{\pi }{4}$ のとき最大値 $2$

$t=1$ すなわち $\theta =0$ のとき最小値 $1$ を取ることがわかります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

この問題は問題文に沿って解いていくと大丈夫です。

$\begin{eqnarray*} \alpha &=&\frac{5\alpha +4}{\alpha +2}\end{eqnarray*}$

を満たす $\alpha$ の値を求めると

$\begin{eqnarray*} \alpha &=&\frac{5\alpha +4}{\alpha +2}\\ \alpha (\alpha +2)&=&5\alpha +2\\ \alpha ^{2}-3\alpha +4&=&0\\ (\alpha -4)(\alpha +1)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\alpha =-1,\ 4$ となります。

$\displaystyle \frac{a_{n+1}-4}{a_{n+1}+1}$ を漸化式を用いて計算すると、次の関係式が成り立ちます。

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}-4}{a_{n+1}+1}&=&\frac{1}{6}\frac{a_{n}-4}{a_{n}+1}\end{eqnarray*}$

したがって、数列 $\displaystyle \left\{ \frac{a_{n}-4}{a_{n}+1}\right\}$ は初項 $\displaystyle \frac{a_{1}-4}{a_{1}+1}=\frac{1}{6}$ 、公比 $\displaystyle \frac{1}{6}$ の等比数列となりますので

$\displaystyle \frac{a_{n}-4}{a_{n}+1}=\left( \frac{1}{6}\right) ^{n}$

となります。この式を整理していくと

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}-4}{a_{n}+1}&=&\left( \frac{1}{6}\right) ^{n}\\ a_{n}-4&=&\left( \frac{1}{6}\right) ^{n}(a_{n}+1)\\ \left\{ 1-\left( \frac{1}{6}\right) ^{n}\right\} a_{n}&=&\left( \frac{1}{6}\right) ^{n}+4\\ a_{n}&=&-1+\frac{5}{1-\left( \frac{1}{6}\right) ^{n}}\end{eqnarray*}$

となります。よって

$\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_{n}=-1+5=4$

となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

$\displaystyle \frac{t^{2}-2}{1+e^{t}}$ の原始関数の1つを $g(t)$ と置いているので、この導関数 $g^{\prime }(t)$ は

$\displaystyle g^{\prime }(t)=\frac{t^{2}-2}{1+e^{t}}$

であることに注意します。合成関数の微分を用いると

$(g(3x))^{\prime }=3g^{\prime }(3x)\ ,\ (g(-3x))^{\prime }=-3g^{\prime }(-3x)$

となりますので

$f^{\prime }(x)=3\left\{ g^{\prime }(3x)+g^{\prime }(-3x)\right\}$

となります。先程の注意から

$\begin{eqnarray*} g^{\prime }(3x)&=&\frac{9x^{2}-2}{1+e^{3x}}\\ g^{\prime }(-3x)&=&\frac{9x^{2}-2}{1+e^{-3x}}\end{eqnarray*}$

問題の注意から

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+e^{3x}}+\frac{1}{1+e^{-3x}}&=&\frac{1+e^{-3x}+1+e^{3x}}{(1+e^{3x})(1+e^{-3x})}\\ &=&\frac{2+e^{3x}+e^{-3x}}{1+e^{-3x}+e^{3x}+1}\\ &=&\frac{2+e^{3x}+e^{-3x}}{2+e^{3x}+e^{-3x}}\\ &=&1\end{eqnarray*}$

となりますので

$f^{\prime }(x)=27x^{2}-6$

であることがわかります。したがって $C$ を積分定数とすると

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\int(27x^{2}-6)dx\\ &=&9x^{3}-6x+C\end{eqnarray*}$

となりますが、 $f(0)=0$ であることから $C=0$ となります。よって

$f(x)=9x^{3}-6x$

となります。この結果を用いると

$\begin{eqnarray*} \int^{1}_{-1}\frac{t^{2}-2}{1+e^{t}}dt&=&f\left( \frac{1}{3}\right) \\ &=&\frac{9}{27}-\frac{6}{3}\\ &=&-\frac{5}{3}\end{eqnarray*}$

が得られます。

また、 $f(x)$ の増減は

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{3}&\cdots &\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow &\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}&\searrow &\displaystyle -\frac{4\sqrt{2}}{3}&\nearrow \\ \hline \end{array}$

となりますので、関数 $f(x)$ は

$\displaystyle x=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ のとき極大値 $\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}$ をとり、

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{3}$ のとき極小値 $\displaystyle -\frac{4\sqrt{2}}{3}$ をとります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

さいころの偶数の目は $2,\ 4,\ 6$ の3つなので、偶数の目が出る確率は $\displaystyle P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$1$ または $3$ の目が出る確率は $\displaystyle P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$5$ の目が出る確率は $\displaystyle P(C)=\frac{1}{6}$ となります。

1個のさいころを5回投げたとき、事象 $A$ 、事象 $B$ 、事象 $C$ が起こる回数をそれぞれ $x,\ y,\ z$ とすると、この3つの事象はどれかが必ず起こりますので

$x+y+z=5$

を満たします。また、点 $Q$ の座標が $2$ になるとき

$3x-y-2z=2$

を満たします。ここから $y$ を消去すると（出てきた条件式の辺々を加える）

$4x-z=7$

したがって $z=4x-7$ が成り立ちます。

$x,\ y,\ z$ は $0$ 以上 $5$ 以下の整数ですので、 $x=2,\ z=1,\ y=2$ となります。

事象 $A$ が2回、事象 $B$ が2回、事象 $C$ が1回起こる場合の数は

$\displaystyle \frac{5!}{2!2!}=30$ 通り

ありますので、1個のさいころを5回投げて点 $Q$ の座標が $2$ である確率は

$\displaystyle 30\times \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\times \left( \frac{1}{3}\right) ^{2}\times \left( \frac{1}{6}\right)=\frac{5}{36}$

となります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

$f(x)=x^{3}-6x+4$ とすると $f(2)=0$ となります。因数定理を用いて因数分解すると

$f(x)=(x-2)(x^{2}+2x-2)$

となります。 $x^{2}+2x-2=0$ の2つの解を $\alpha ,\ \beta (\alpha \lt \beta )$ とすると、2次方程式の解と係数の関係より

$\alpha +\beta =-2,\ \alpha \beta =-2$

が成り立ちます。また

$\begin{eqnarray*} (\beta -\alpha )^{2}&=&(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \\ &=&(-2)^{2}-4\times (-2)\\ &=&4+8\\ &=&12\end{eqnarray*}$

$\alpha \lt \beta$ より $\beta -\alpha =2\sqrt{3}$ となります。

$A(\alpha ,0),\ B(\beta ,0)$ と $\alpha \lt x\lt \beta$ の範囲で曲線 $y=f(x)$ 上を動く点 $P$ に対して、 $\triangle ABP$ の面積が最大となるような点 $P$ の位置は、曲線 $y=f(x)$ が極値を取るようなところになります。それを求めると

$f^{\prime }(x)=3x^{2}-6$

より $x=\pm \sqrt{2}$ となりますが $\alpha \lt x\lt \beta$ より $x=-\sqrt{2}$ となります。

定積分 $\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx$ を求めると

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx&=&\left[ \frac{1}{4}x^{4}-3x^{2}+4x\right] _{\alpha }^{\beta }\\ &=&\frac{1}{4}(\beta ^{4}-\alpha ^{4})-3(\beta ^{2}-\alpha ^{2})+4(\beta -\alpha )\\ &=&\frac{1}{4}(\beta ^{2}-\alpha ^{2})(\beta ^{2}+\alpha ^{2})-3(\beta ^{2}-\alpha ^{2})+4(\beta -\alpha )\\ &=&\left\{ \frac{1}{4}(\beta ^{2}+\alpha ^{2})-3\right\} (\beta ^{2}-\alpha ^{2})+4(\beta -\alpha )\end{eqnarray*}$

ここで

$\begin{eqnarray*} \beta ^{2}+\alpha ^{2}&=&(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta \\ &=&(-2)^{2}-2\times (-2)\\ &=&4+4\\ &=&8\\ \beta ^{2}-\alpha ^{2}&=&(\beta +\alpha )(\beta -\alpha )\\ &=&(-2)\times 2\sqrt{3}\\ &=&-4\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

となりますので

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx&=&\left\{ \frac{1}{4}\times 8-3\right\} \times (-4\sqrt{3})+4\times 2\sqrt{3}\\ &=&(2-3)\times (-4\sqrt{3})+8\sqrt{3}\\ &=&4\sqrt{3}+8\sqrt{3}\\ &=&12\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

第4問が面白い問題だと思いました。

第2問以降はマーク方式の問題ですが、解き方が誘導されているので解きやすかったです。

計算の工夫も誘導の中に組み込まれているので、入試勉強をする側にも教える側にとっても良い問題ではないかと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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ご訪問ありがとうございます！

目次

今回の問題

問題の難易度について

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜