マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

倉敷芸術科学大学の問題【2022年一般入試A日程第4問・第5問・第6問】

図形と方程式指数関数と対数関数入試問題

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今週は八戸工業大学と倉敷芸術科学大学の2022年の問題です。

今回は倉敷芸術科学大学2022年一般入試A日程第4問・第5問・第6問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

数学Ⅱ中心の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)3点 $O(0,0),\ A(4,8),\ B(6,2)$ を通る円の方程式を $x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0$ とおくと、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc}n&=&0\\ 80+4l+8m+n&=&0\\ 40+6l+2m+n&=&0\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $l=-4,\ m=-8,\ n=0$ となりますので、これらを最初においた円の方程式に代入して式変形を行うと、円の方程式は

$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20$

です。したがって、 $\triangle ABC$ の外接円の中心の座標は $(2,4)$ であることがわかります。

(2)対数関数の底の変換公式により

$\displaystyle \log_{5}{7}=\frac{\log_{10}{7}}{\log_{10}{5}}$

$\displaystyle \log_{7}{10}=\frac{1}{\log_{10}{7}}$

$\displaystyle \log_{35}{70}=\frac{\log_{10}{70}}{\log_{10}{35}}=\frac{1+\log_{10}{7}}{\log_{10}{5}+\log_{10}{7}}$

となりますので、 $\log_{10}{5}=a,\ \log_{10}{7}=b$ とおくと

$\displaystyle \log_{5}{7}=\frac{b}{a},\ \log_{7}{10}=\frac{1}{b},\ \log_{35}{70}=\frac{1+b}{a+b}$ …①

となります。

問題文に与えられている対数関数の値を用いると $a=0.6990,\ b=0.8451$ ですので、この値を①に代入すると

$\log_{5}{7}=1.20…,\ \log{7}{10}=1.18…,\ \log_{35}{70}=1.19…$

となりますので、この3つの対数関数の大小関係は $\log_{7}{10}\lt \log_{35}{70}\lt \log_{5}{7}$ となります。

(3)さいころの出目と最大の奇数の約数の関係については以下のようになります。

$\begin{array}{c|cccccc}出目&1&2&3&4&5&6\\ \hline 約数&1&1&3&1&5&3\end{array}$

したがって、さいころを3個同時に投げたときの出た目の積に対する最大の奇数の約数の総和は

$(1+1+3+1+5+3)^{3}=14^{3}$

となりますので、平均値は $\displaystyle \frac{14^{3}}{6^{3}}=\frac{343}{27}$ となります。

また、中央値は216個のデータのうち、小さい方から108番目のデータは5、109番目のデータは9ですので $\displaystyle \frac{5+9}{2}=7$ となります。

いかがだったでしょうか？

昨日の問題と同じ試験の後半部分になりますが、ここは少し難しかったです。

ですが、基礎問題であることは間違いありませんので解けておきたい問題です。

レベル的には教科書の節末問題や章末問題くらいでしょうか。

教科書の節末問題や章末問題を解けるようにするだけでも入試問題には対応できそうです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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