マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2006年前期日程第3問】

図形と計量・図形の性質 2次関数 入試問題
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今週は首都大学東京2005年・2006年の問題です。

今回は2006年前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆☆です。

4つの円の面積の和を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

\triangle ABCが正三角形なので、円 C_{1},\ C_{2},\ C_{3}は正三角形の対称性より合同な円になります。

ですので、この3つの円のうち1つの円の半径が求まれば良いということになります。

まず、円 C_{0}の半径の値が取りうる範囲を求めてみます。

円 C_{1},\ C_{2},\ C_{3}の取り方から、円 C_{0}は \triangle ABCの内部にあります。

したがって、円 C_{0}が \triangle ABCの外接円かそれ以上大きな円になってしまうと円 C_{1},\ C_{2},\ C_{3}が取れなくなってしまいます。

ということで、 \triangle ABCの半径を求める必要が出てくるのですが、ここは正弦定理を用いて求めます。

\triangle ABCの外接円の半径を Rとすると、正弦定理より

\displaystyle \frac{a}{\sin{60^{\circ }}}=2R

が成り立ちますので、この Rに対する方程式を解くと、 \displaystyle R=\frac{\sqrt{3}}{3}aとなります。

よって、円 C_{0}の半径の取りうる値の範囲は \displaystyle 0\lt r\lt \frac{\sqrt{3}}{3}aということになります。

続いて、他の3つの円の半径を求めます。その値を xとおきます。

正三角形の重心は内心でも外心でもありますので、円 C_{0}は角の二等分線上にあります。

そう考えると、円 C_{0}と円 C_{1}との位置関係は下の図のようになります。

頂点と \triangle ABCの重心までの距離は、中線を 2:1に内分しますので \displaystyle \frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}となります。

上の図から考えると、重心までの距離は 3x+rですので

3x+r=\frac{\sqrt{3}}{3}a

したがって \displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{9}ax\frac{1}{3}rとなります。

これで4つの円の面積の和を求める準備が出来ました。

\displaystyle S=r^{2}\pi +3x^{2}\pi

\displaystyle =\left( \frac{4}{3}r^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{9}ar+\frac{1}{9}a^{2}\right) \pi

となります。 rが変数なので、式変形を次のように行います。

\displaystyle S=\left\{ \frac{4}{3}\left( r-\frac{\sqrt{3}}{12}a\right) ^{2}+\frac{1}{12}a^{2}\right\} \pi

これにより Sは \displaystyle r=\frac{\sqrt{3}}{12}aのとき最小値 \displaystyle \frac{1}{12}\pi aをとることがわかります。

いかがだったでしょうか？

図形の問題は図を描くと解く方針がわかりやすくなります。

今回の問題は4つの円の位置関係を把握しないと解けない問題ですので、図を描かないとわかりづらいかもしれません。

計算も終始、文字式が含まれていますので難しい問題だったかと思います。

入試問題では文字式を含んだ計算を強いられることが多々ありますので、本番までには慣れておきたいです。

そのためには志望校より少しレベルの高い問題に手をつけることが大切かと思います。

　

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