首都大学東京の問題【2012年前期日程第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。

今回は2012年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

ある点がベクトルによる条件で与えられるときの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\overrightarrow{AG}$ を求めますので、条件式のベクトルをすべて点 $A$ を始点に合わせてみます。そうすると

$-\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AG})+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AG})+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG})=\vec{0}$

$4\overrightarrow{AG}=\vec{a}+s\vec{a}+t\vec{b}+\vec{b}$

$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{1+s}{4}\vec{a}+\frac{t+1}{4}\vec{b}$

となります。

点 $G$ が線分 $BD$ 上にあるとき、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のおき方から $\displaystyle \frac{1+t}{4}+\frac{1+s}{4}=1$ が条件となります。

この条件式を整理すると $s+t=2$ となります。

四角形 $ABCD$ は内角が $180^{\circ }$ より小さい四角形ですので、 $0\lt s\lt 2,\ 0\lt t\lt 2$ となります。

このことを考えると、線分 $AC$ の中点を $M$ とすると $\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}s\vec{a}+\frac{1}{2}t\vec{b}$ であり、 $\displaystyle \frac{1}{2}s+\frac{1}{2}t=1$ かつ $\displaystyle 0\lt \frac{1}{2}s\lt 1,\ 0\lt \frac{1}{2}t\lt 1$ であるので点 $M$ は線分 $BD$ 上にあることがわかります。

点 $C$ の存在範囲は $\overrightarrow{AB^{\prime }}=2\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD^{\prime }}=2\overrightarrow{AD}$ となる点 $B^{\prime }$ と点 $D^{\prime }$ をとると、線分 $B^{\prime }D^{\prime }$ 上にあることがわかります。