マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2015年中高共通第5問】

ベクトル教員採用試験の過去問

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今週は2015年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

一直線上にない3点 $A,\ B,\ C$ がある。点 $P$ が $\overrightarrow{AP}+m\overrightarrow{BP}+n\overrightarrow{CP}$ ( $l,m,n$ は実数、 $l+m+n\not= 0$ )を満たし、かつ線分 $BC$ 上にあるとき、 $l,m,n$ の条件を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

点 $P$ の条件から係数を決定する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

ベクトルによる条件式は始点を合わせておくと方針が見えてきます。

条件式を変形してみる

ベクトルによる条件式が与えられていますが、この条件式を $A$ を始点にして変形してみます。そうすると

$l\overrightarrow{AP}+m(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP})+n(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP})=\vec{0}$

この式を変形して $\overrightarrow{AP}$ を表すと

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{m}{l+m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{n}{l+m+n}\overrightarrow{AC}$

となります。

変形した条件式から満たすべき条件をあぶり出す

3点 $A,B,C$ は一直線上になく、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから

$\displaystyle \frac{m}{l+m+n}+\frac{n}{l+m+n}=1$ かつ $\displaystyle \frac{m}{l+m+n}\geqq 0$ かつ $\displaystyle \frac{n}{l+m+n}\geqq 0$

という条件が成り立ちます。最初の式の両辺に $l+m+n$ をかけると

$m+n=l+m+n$

が成り立ちますので、 $l=0$ かつ $m+n\not= 0$ となります。あとの2つの条件を合わせると

・ $l=0$ かつ $mn\gt 0$

・ $l=m=0$ かつ $n\not= 0$

・ $l=n=0$ かつ $m\not= 0$

のいずれかが成り立ちます。これが求める条件となります。

いかがだったでしょうか？

ベクトルの条件式は、始点を合わせておくと見通しが良くなります。

あとは線分上にある条件さえ覚えておけば難なく解ける問題でした。

大学入試でも同じような問題に出くわす可能性がありますので、大学受験生も解けておきたい問題ですね。

　

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