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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。
今回は2012年文系学部前期日程第3問です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
格子点の個数を数える問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
a1は|x|+|y|<1をみたす格子点の個数で、この条件を満たす格子点は(0,0)の1個です。
したがって、a1=1となります。
a2は|x|+|y|>2をみたす格子点の個数で、この条件を満たす格子点は(0,0), (1,0), (−1,0), (0,1), (0,−1)の5個です。
したがって、a2=5となります。
同じように|x|+|y|>3をみたす格子点の個数を数えると13個ありますので、a3=13となります。
an+1はanの個数に|x|+|y|=nをみたす格子点の個数を加えたものになります。
|x|+|y|=nをみたす格子点でx座標とy座標がともに正の整数であるものは
(0,n), (1,n−1), (2,n−2), ⋯, (n−1,1), (n,0)
のn+1個あります。x座標とy座標の符号を考えて、|x|+|y|=nをみたす格子点の個数は4n個あります。
よってan+1−an=4nとなります。
ここから、数列{an}の一般項を求めると、この数列の階差数列が4nであることから、n≧2のとき
an=1+n−1∑k=14k
=1+2n(n−1)
=2n2−2n+1
となり、この式はn=1のときも成り立ちます。
したがってan=2n2−2n+1となります。
いかがだったでしょうか?
数列を用いて格子点の個数を求める問題でした。
このタイプの問題は、次の項との関係を導くと求められる場合が多いです。
ですので、ある項とその次の項の関係性を考えてみるのが良いかもしれません。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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