マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2012年前期日程第3問】

数列入試問題

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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。

今回は2012年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

格子点の個数を数える問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$a_{1}$ は $|x|+|y|\lt 1$ をみたす格子点の個数で、この条件を満たす格子点は $(0,0)$ の $1$ 個です。

したがって、 $a_{1}=1$ となります。

$a_{2}$ は $|x|+|y|\gt 2$ をみたす格子点の個数で、この条件を満たす格子点は $(0,0),\ (1,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (0,-1)$ の $5$ 個です。

したがって、 $a_{2}=5$ となります。

同じように $|x|+|y|\gt 3$ をみたす格子点の個数を数えると $13$ 個ありますので、 $a_{3}=13$ となります。

$a_{n+1}$ は $a_{n}$ の個数に $|x|+|y|=n$ をみたす格子点の個数を加えたものになります。

$|x|+|y|=n$ をみたす格子点で $x$ 座標と $y$ 座標がともに正の整数であるものは

$(0,n),\ (1,n-1),\ (2,n-2),\ \cdots ,\ (n-1,1),\ (n,0)$

の $n+1$ 個あります。 $x$ 座標と $y$ 座標の符号を考えて、 $|x|+|y|=n$ をみたす格子点の個数は $4n$ 個あります。

よって $a_{n+1}-a_{n}=4n$ となります。

ここから、数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項を求めると、この数列の階差数列が $4n$ であることから、 $n\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}4k$

$\displaystyle =1+2n(n-1)$

$\displaystyle =2n^{2}-2n+1$

となり、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

したがって $a_{n}=2n^{2}-2n+1$ となります。

いかがだったでしょうか？

数列を用いて格子点の個数を求める問題でした。

このタイプの問題は、次の項との関係を導くと求められる場合が多いです。

ですので、ある項とその次の項の関係性を考えてみるのが良いかもしれません。

　

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