マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220825

2次関数入試問題

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今週は東京未来大学2021年の問題＋αの問題です。

今回は第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1) $f(x)=x^{2}-2x-2$ を平方完成すると $f(x)=(x-1)^{2}-3$ となります。

定義域 $-2\leqq x\leqq 2$ 内に頂点が含まれているので、 $f(x)$ の最小値は $x=1$ のとき $-3$ 、最大値は $x=-2$ のとき $6$ をとります。

また、 $f(x)=0$ の解は2次方程式の解の公式により $x=1\pm \sqrt{3}$ となりますが、 $-2\leqq x\leqq 2$ なので $x=1-\sqrt{3}$ となります。

(2) $g(x)=ax^{2}+2ax+b$ を平方完成すると $g(x)=a(x+1)^{2}-a+b$ となります。

定義域 $-2\leqq x\leqq 2$ 内に頂点を含んでおり、 $a＞0$ ですので $x=-1$ のとき最小値、 $x=2$ のとき最大値をとります。

最小値が $5$ 、最大値が $14$ という条件から、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} -a+b&=&5\\ 8a+b&=&14 \end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=1,\ b=6$ となります。

いかがだったでしょうか？

定義域と頂点との位置関係は最大値と最小値を見るうえで重要になります。

頂点を求めるには平方完成が欠かせません。

2次関数を見たら平方完成するとほとんどの問題が解決されそうですね。

　

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