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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は東京未来大学2021年の問題＋αの問題です。
今回は第3問です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
2乗の平均と中央値と分散から未知のデータを求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)平均値はデータの合計値をデータの個数（人数）で割ります。
このデータの合計値は780でデータの個数は10ですので、平均値は78点です。
分散は196であることがわかっています。
分散は（2乗の平均）－（平均の2乗）でも求めることができます。
このことを使うと、2乗の平均の値をとおくと
ということになります。この方程式を解くととなります。
(2)データが7こありますので、このデータのうちのどれかが中央値ということになります。
その中央値が171ですので、のいずれかが中央値になります。
手掛かりになるのは平均値が170であることです。
と仮定すると、
が条件ですので平均値が170を超えてしまいます。
と仮定すると、
となりますが、この2数の平均が174.5です。
これはのうち少なくとも一方が171を超えていることになるので、このときも条件
を満たしません。
よってとなります。
あとはと
の値を求めるのですが、これは平均値と分散の値から求めていきます。
分散を用いるときに2乗が出てきますので、直接と
の値を導き出すのは大変です。
今回は少し工夫をして導き出したいと思います。
まず、平均が170であることから、、分散が14であることから
であることが導かれます。
ここで前者の式をと変形して
とおくと、次の連立方程式が成り立ちます。
この連立方程式は2つの式で次数が異なりますので加減法は使えません。
を変形して代入法で解くこともできますが、ここでは解と係数の関係を使ってみます。
であることと
であることを用いると
となります。
したがって2数は2次方程式
の解であることがわかります。
この2次方程式を解くとですので、
と
の大小関係から
となります。
置き換えたものを元に戻せばとなります。
いかがだったでしょうか？
今回は数学Ⅱで習う知識を使いましたが、実際の試験の範囲は数学Ⅰと数学Ａのみです。
ですので、数学Ⅱ以降を習っていない方はゴリゴリ計算をしていくしかなさそうです。
を計算するのは少し面倒ですね…何かいい方法は無いでしょうか？
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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