マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

帝京平成大学の問題【2022年一般入試問題1[3]】

2次関数入試問題

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今週は帝京平成大学2022年一般入試の問題です。

今回は問題1の[3]です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数のグラフと $x$ 軸との位置関係の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の問題は2次関数 $y=x^{2}+(m-1)x+m^{2}+m-2$ …①について考えます。 $m=-2$ のとき、関数①は

$y=x^{2}-3x$

となります。 $x^{2}-3x=0$ を解くと $x=0,\ x=3$ となりますので、このときの関数①のグラフと $x$ 軸との交点は $(0,0)$ と $(3,0)$ であることがわかります。

関数①のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、 $x$ の方程式 $x^{2}+(m-1)x+m^{2}+m-2=0$ の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D&=&(m-1)^{2}-4(m^{2}+m-2)\\ &=&-3m^{2}-6m+9\\ &=&-3(m^{2}+2m-3)\\ &=&-3(m+3)(m-1)\end{eqnarray*}$

で、この値の符号により個数がわかります。関数①のグラフと $x$ 軸との交点の個数が2個になるのは $D\gt 0$ となるときで、この不等式を解くと

$-3\lt m\lt 1$

となります。

関数①の式を変形すると

$\displaystyle y=\left( x+\frac{m+1}{2}\right) ^{2}+\frac{3m^{2}+6m-9}{4}$

となりますので、この関数の最小値を $f(m)$ とすると

$\displaystyle f(m)=\frac{3}{4}(m+1)^{2}-3$

となります。 $m$ が $-3\lt m\lt 1$ の範囲で $f(m)$ が最小となるのは、 $m=-1$ のとき $-3$ となります。

帝京平成大学のここがスゴイ！

ファミリーマートでCMが流れていたみたいですね。CM動画が削除されてしまったようです。

資格習得実績が1位なのはスゴイと思います。

今回の問題は教科書にも載っているくらいのレベルになりますので、落とせない問題になるかと思います。

教科書の例題や練習問題などをチェックしてみても良いかもしれません。

　

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