マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2020年1日目第2問】

微分積分入試問題

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今週は東京女子大学2020年の問題です。

今回は文系学部1日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

4次関数とその他の直線で囲まれる図形の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずはグラフを描いてみます。

$f(x)=(x+a)^{2}(x-a)^{2}$ の右辺を展開すると $x^{4}-2a^{2}x^{2}+a^{4}$ となります。

$y=f(x)$ のグラフを描くためには、この関数の増減を調べる必要がありますが、そのためには導関数を求めなければいけません。

$f(x)$ の導関数を $f^{\prime }(x)$ とすると

$f^{\prime }(x)=4x^{3}-4a^{2}x$

$=4x(x+a)(x-a)$

となります。 $a\gt 0$ であることから、関数 $f(x)$ の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &-a&\cdots &0&\cdots &a&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow &0&\nearrow &a^{4}&\searrow &0&\nearrow \\ \hline \end{array}$

この増減表から、 $y=f(x)$ のグラフを描いてみると以下のようになります。（下の図は $a=1$ のときのグラフです）

求めるものは、 $y=f(x)$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積 $S$ と $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=a^{4}$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $T$ です。

上の図では、赤い点線が $y=a^{4}$ にあたる直線で、手書きで $S$ 、 $T$ と書いてあるところがそれぞれ求める部分の面積です。

ここまでくると、あとは積分計算をするだけですが、この計算でミスが起こりやすいので注意が必要です。

$\displaystyle S=\int^{a}_{-a}(x+a)^{2}(x-a)^{2}dx=\frac{16}{15}a^{5}$

図形 $T$ が $y$ 軸に関して対称であることに注意して

$\displaystyle T=\int^{\sqrt{2}a}_{0}(x+a)^{2}(x-a)^{2}dx=\frac{16}{15}\sqrt{2}a^{5}$

いかがだったでしょうか？

このタイプの問題はグラフを描いたほうが解く方針が見出せそうです。

導関数を求めて関数の増減を調べるとグラフを描くことができます。

厳密には2次導関数まで求めてグラフの凹凸（上に凸なのか下に凸なのか）を調べる必要がありますが、グラフの大体の形が分かれば良いのでその必要はありません。

4次関数を扱っているので計算は少し大変ですが、やることは3次関数のときと全く同じです。

　

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