マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2020年1日目第3問】

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今週は東京女子大学2020年の問題です。

今回は文系学部1日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

線分の比を求める問題です。今回はベクトルを用いています。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

メネラウスの定理が使えそうに見えますが、必要な辺の比の情報が不足しているので使えそうになさそうです。

そこで、ベクトルを使って辺の比を求めていきます。

まず \overrightarrow{AG}を求めます。

 G \triangle BCDの重心であることに注目します。

 Gは、辺 BCの中点を Mとすると、線分 DM 2:1に内分する点になります。

よって、 \displaystyle \overrightarrow{DG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DM}となりますので、 \overrightarrow {DG}が求められれば良いことになります。

 Dは辺 AC 1:3に内分する点ですので \displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\vec{c}であることがわかります。

また、点 Mは辺 BCの中点ですので \displaystyle \overrightarrow{AM}={1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}となります。

したがって、 \displaystyle \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}と導くことができます。

ここまでのことから \displaystyle \overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}ですので \displaystyle \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{5}{12}\vec{c}と求められます。

 A,\ E,\ G,\ Fは同じ直線上にありますので \overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AG},\ \overrightarrow{AF}=l\overrightarrow{AG}となる実数 k lが存在します。

これらの値が求められれば AE:EG:GFの比の値が求められます。

 Eは線分 BD上にあるので \displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}k\vec{b}+\frac{5}{12}k\vec{c}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{3}\overrightarrow{AD}かつ \displaystyle \frac{1}{3}k+\frac{5}{3}k=1が成り立ちます。

したがって、 k=\frac{1}{2}となります。

同じようにして、点 Fは線分 BC上にあるので \displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}l\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}l\overrightarrow{AC}かつ \displaystyle \frac{1}{3}l+\frac{5}{12}l=1が成り立ちますので、 AE:AG:AF=3:6:8であることが求められます。

この比から AE:EG:GF=3:3:2となります。

いかがだったでしょうか?

線分の比をベクトルを用いて求めてみました。

ベクトルの基本的な計算を使うだけで求めることができました。

 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}はかなり大事な武器です。

これを考え続けるとベクトルの問題はきっと解けるかと思います。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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