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今週は東京女子大学2020年の問題です。
今回は文系学部1日目第3問です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
線分の比を求める問題です。今回はベクトルを用いています。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
メネラウスの定理が使えそうに見えますが、必要な辺の比の情報が不足しているので使えそうになさそうです。
そこで、ベクトルを使って辺の比を求めていきます。
まずを求めます。
点はの重心であることに注目します。
点は、辺の中点をとすると、線分をに内分する点になります。
よって、となりますので、が求められれば良いことになります。
点は辺をに内分する点ですのでであることがわかります。
また、点は辺の中点ですのでとなります。
したがって、と導くことができます。
ここまでのことからですのでと求められます。
点は同じ直線上にありますのでとなる実数とが存在します。
これらの値が求められればの比の値が求められます。
点は線分上にあるのでかつが成り立ちます。
したがって、となります。
同じようにして、点は線分上にあるのでかつが成り立ちますので、であることが求められます。
この比からとなります。
いかがだったでしょうか?
線分の比をベクトルを用いて求めてみました。
ベクトルの基本的な計算を使うだけで求めることができました。
はかなり大事な武器です。
これを考え続けるとベクトルの問題はきっと解けるかと思います。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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