マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題ver.20220831

微分積分入試問題

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今週は東京女子大学2016年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

接線の方程式と面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

放物線 $y=x^{2}-x+a$ は、 $a$ が正の定数であるので原点は通りません。

したがって、曲線上にはない点から接線を引くことになります。

図で表すと下のようになります。

青く塗ってある部分が最終的に求める面積です。

曲線の接線の方程式を求めるときは、まず曲線 $y=f(x)$ 上の点を $(t,f(t))$ として、この点における接線の方程式を考えます。

直線の傾きは、そこの点における曲線の微分係数に等しく、点 $(t,f(t))$ を通るので接線の方程式は

$y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$

というようにおくことができます。

$t$ の値は与えられる条件から決定します。

今回の場合は $f(x)=x^{2}-x+a$ として考えると、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線の方程式は

$y=(2t-1)(x-t)+t^{2}-t+a$

$=(2t-1)x-t^{2}+a$

となります。

この方程式を決定する要素は次の2点です。

・直線が接線を通ること

・引ける2本の接線が互いに垂直に交わること

直線が原点を通ることから $t^{2}=a…①$ という条件が導かれます。

したがって、2本の接線の傾きは $2\sqrt{a}-1$ と $-2\sqrt{a}-1$ となります。

さらに、この2本の直線が垂直に交わるので $(2\sqrt{a}-1)(-2\sqrt{a}-1)=-1$ が成り立ちます。

この方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{1}{2}$ となりますので、①の条件から $\displaystyle t=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ であることがわかります。

求めた2本の接線と放物線 $\displaystyle y=x^{2}-x+\frac{1}{2}$ で囲まれる部分は、上の図の青色の部分で、その面積は

$\displaystyle \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{0}(x^{2}-x+\frac{1}{2}+(\sqrt{2}+1)x)dx+\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}(x^{2}-x+\frac{1}{2}-(\sqrt{2}-1)x)dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}\left( x+\frac{\sqrt{2}}{2} \right) ^{3}\right] _{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{0}+\left[ \frac{1}{3} \left( x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{3} \right] _{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{6}$

となります。

いかがだったでしょうか？

基礎をしっかり身に付けておけば難なくクリアできる問題でした。

最後の積分の計算には注意が必要です。

楽な計算があればいいのになぁ…と思いながらやると良いかもしれません。

　

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