マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220821

三角関数場合の数と確率入試問題

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今週は東京未来大学2020年の問題です。

今回は2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の値、個数を求める問題と絶対値の計算です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)三角関数の値を求める問題です。

$\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\frac{1}{4}$ の両辺を2乗すると $\sin{\theta }\cos{\theta }$ が出ますので、三角関数の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ を用いると

$\displaystyle \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }=\frac{1}{16}$

$\displaystyle 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{1}{16}$

$\displaystyle 2\sin{\theta }\cos{\theta }=-\frac{15}{16}$

$\displaystyle \sin{\theta }\cos{\theta }=-\frac{15}{32}$

因数分解の公式 $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$ を用いると

$\sin^{3}{\theta }+\cos^{3}{\theta }=(\sin{\theta }+\cos{\theta })(\sin^{2}{\theta }-\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta })$

$\displaystyle =\frac{1}{4}\times \left\{ 1-\left( -\frac{15}{32}\right) \right\}$

$\displaystyle =\frac{1}{4}\times \frac{47}{32}=\frac{47}{128}$

(2)個数を求める問題です。

2020を8で割った商と余りを求めると $2020=8\times 252+2$ ですので、2020以下の自然数で8で割り切れる数の個数は252個あることがわかります。

したがって、2020以下の自然数で8で割り切れない数の個数は $2020-252=1768$ 個になります。

(3)絶対値の計算です。

絶対値記号の取扱いは

$|a|=\left\{ \begin{array}{cc} a&(a\geqq 0)\\ -a&(a<0)\end{array} \right.$

ですので、絶対値記号の中身が正の数か負の数かで場合分けする必要があります。

$a=10100065$ のとき $a+2＞0,\ 6-a＜0$ ですので

$|a+2|+|6-a|=a+2+a-6$

$=2a-4$

$=20200130-4=20200126$

というように計算していきます。

いかがだったでしょうか？

最初の2つの問題は基礎問題でもよく見かける問題です。

最後の問題は絶対値の扱いに慣れておかないと難しいかもしれません。

いずれの問題も練習を積んでおけばすぐに解けるようになる問題かと思います。

　

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