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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！
今週は教員採用試験で出題された図形の問題です。内容的には空間図形です。
今回は教員採用試験頻出問題です。
徳島県教員採用試験と長崎県教員採用試験で出題されたようです。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
立体が正四面体なので解きやすいかと思います。
教員採用試験頻出問題ですが、大学入試でも出題されておかしくないと思います。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
正四面体の問題です。
すべての面が正三角形であることに注意します。
真上から見ると、頂点は
なので、底面
の外心に来ます。
また、正三角形の外心と重心の位置は一致しますので、頂点から底面
に下ろした垂線の足は、底面の
の外心かつ重心にきます。
この点をとすると、点
は
の頂点
から辺
に下ろした垂線の上にあり、しかも
に内分する位置にあります。
線分と
は垂直に交わりますので、これで正四面体の高さを出すことができます。
あとは正三角形の面積を求めれば、正四面体の体積が求められます。
四面体に内接する球は、正四面体の各面に接していますので、正四面体
の体積を
、正三角形
の面積を
、正四面体に接する球の半径を
とすると
という関係があります。
この関係を使って球の体積を求めます。
いかがだったでしょうか？
大学入試でもよくでそうな問題です。
正四面体の長さをにして解いてみるのも良いかと思います。
よくでてくる問題は解き方をマスターしたいですね。
それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/
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