三角関数の問題ver.20220331 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は三角関数の問題です。

今回は2017年東京大学で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

倍角の公式と3倍角の公式を使って解いていくと、そこまでは難しくないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$f(\theta )$ 、 $g(\theta )$ とも $\cos{x}$ の多項式で表すことができないかを考えます。

$\cos{2\theta }=2\cos^{2}-1,\ \cos{3\theta }=4\cos^{3}{\theta }-3\cos{\theta }$ ですので、 $f(\theta ),\ g(\theta )$ とも $\cos{\theta }$ の多項式で表すことができそうです。

$g(\theta )$ については、分子に因数 $\cos{\theta }-1$ が含まれていることをにらんで計算を進めていくと楽に計算することができます。

$g(\theta )$ は $\cos{\theta }$ に関する2次式になりますので、 $g(\theta )$ は $\cos{\theta }$ の2次関数とみることができます。

したがって、 $g(\theta )$ を $\cos{\theta }$ で表した関数を $h(\cos{\theta })$ とすると、 $\theta$ のとりうる値の範囲から $-1＜\cos{\theta }＜1$ ですので、この範囲内で $h(\cos{\theta })$ のグラフの頂点が入っていれば最小値が存在します。