方程式と複素数の問題ver.20220308 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は方程式と複素数の入試問題です。

今回の問題は2018年成城大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆☆です。

相反方程式の問題ですが、解き方がわからないと手付かずになる可能性があるので難易度を1段階上げて評価しました。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

係数が左右対称になっている方程式は $\displaystyle x+\frac{1}{x}=t$ とおいてtの方程式に帰着できるように変形します。

その際、文字xで割りますので $x\not= 0$ であることを仮定します。

なので、xで割る前にx=0が方程式の解であるかどうかのチェックが必要になります。

(1)で解く方針を考えてみます。

$\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $\displaystyle t^{2}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ であることを導くことができます。

したがって、(1)の方程式をtを用いて表すと

$t^{2}+t-2=0$

になります。

この方程式をtについて解くと、t＝1,-2となります。

tの値が求められたらxの値を求めます。

例えば、t=-2であれば $\displaystyle x+\frac{1}{x}=-2$ が成り立ちますので、この式を変形して $x^{2}+2x+1=0$ となります。

このxの方程式を解いてxの値を求めます。

(2)は左辺をf(x)とおくと、f(-1)=0ですので因数定理よりf(x)は(x+1)を因数にもちます。

よって、 $f(x)=(x+1)(x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1)$ となりますが、 $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+2=0$ を解く必要が出てきます。

この方程式は相反方程式です。

この方程式はx=0に解を持たないので、両辺を $x^{2}$ で割って(1)と同様の方法で方程式の解を求めます。

この手の問題は一度経験しておかないと解けなさそうな問題かと思います。

誘導があれば解けそうな気がします。

ただ、教員採用試験でもこのような問題が出題されたことがありますので、そこではもしかすると誘導がないかもしれません。

数学ガチ勢になるには知っておきたい問題だろうと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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