マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2020年中高共通第1問】

数と式教員採用試験の過去問

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2020年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $a$ は定数とする。 $(2x+a)^{8}$ の展開式における $x^{5}$ の係数が $-224$ であるとき、 $a$ の値を求めなさい。

(2) $11^{10}$ の下4桁を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

二項定理に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

二項定理

二項定理とは、 $(x+y)^{n}$ の展開式において、一般項は

$_{n}C_{r}x^{r}y^{n-r}\ \ (r=0,1,2,\cdots ,n)$

である、というものです。今回の問題はこの定理を用いて解いていきます。

(1)の問題について

二項定理によると、 $x^{5}$ の係数は $_{8}C_{5}\times 2^{5}\times a^{3}$ です。この値が $-224$ ですので、次の方程式が立てられます。

$56\itmes 2^{5}a=-224$

この方程式を解くと $\displaystyle a=-\frac{1}{2}$ となります。

(2)の問題について

$11=10+1$ と考えて二項定理を使います。

$\begin{eqnarray*} 11^{10}&=&(10+1)^{10}\\ &=&1+_{10}C_{1}10^{1}+_{10}C_{2}10^{2}+_{10}C_{3}10^{3}+\cdots +10^{10}\\ &=&1+100+4500+120000+\cdots +10^{10}\end{eqnarray*}$

ですが、欲しい情報は下4桁の数なので、この最初の3項だけ計算すれば充分です。計算をすると $4601$ となりますので、この数値が $11^{10}$ の下4桁です。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

珍しく二項定理を使う問題でした。

大学入試でもあまり出題は見られませんが、出題されない可能性は０ではないので、出てしまったときに対応できるように二項定理はチェックしておきたいところです。

微分積分の分野のように数多く解く必要はないと思いますが、思い出すために週に1回程度は解いておくと良いかもしれません。

　

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