徳島県教員採用試験の問題【2018年中高共通第5問】

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今回の問題

今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文（記述式）

2つの関数 $f(\theta )=4\sin{\theta }\cos{\theta },\ g(\theta )=\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{6}\right) }\cos{\theta }-\cos{\left( \theta -\frac{\pi }{6}\right) }\sin{\theta }$ について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $f(\theta )$ は $\sin{2\theta }$ を用いて、また、 $g(\theta )$ は $\cos{2\theta }$ を用いてそれぞれ表しなさい。

(2) $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ とする。不等式 $f(\theta )g(\theta )\leqq 0$ を解きなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の不等式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

倍角の公式を使って式変形を行う

三角関数の倍角の公式

・ $2\sin{\theta }\cos{\theta }=\sin{2\theta }$

・ $\cos^{2}{\theta }-\sin^{2}{\theta }=\cos{2\theta }$

を使って $f(\theta )$ と $g(\theta )$ を変形していきます。 $f(\theta )$ は

$\begin{eqnarray*} f(\theta )&=&2\cdot (2\sin{\theta }\cos{\theta })\\ &=&2\sin{2\theta }\end{eqnarray*}$

$g(\theta )$ は

$\begin{eqnarray*} g(\theta )&=&\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta }+\frac{1}{2}\cos{\theta }\right) \cos{\theta }-\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta }+\frac{1}{2}\sin{\theta }\right) \sin{\theta }\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta }\cos{\theta }+\frac{1}{2}\cos^{2}{\theta }-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta }\cos{\theta }-\frac{1}{2}\sin^{2}{\theta }\\ &=&\frac{1}{2}(\cos^{2}{\theta }-\cos^{2}{\theta })\\ &=&\frac{1}{2}\cos{2\theta }\end{eqnarray*}$

となります。

不等式を解く

先ほどの結果から

$\begin{eqnarray*} f(\theta )g(\theta )&=&\sin{2\theta }\cos{2\theta }\\ &=&\frac{1}{2}\sin{4\theta }\end{eqnarray*}$

と変形できます。ですので、 $\sin{4\theta }\leqq 0$ を解くことになります。 $\theta$ の取り得る値に注意して不等式を解くと

$\displaystyle \theta =0,\ \frac{\pi }{4} \leqq \theta \frac{\pi }{2},\ \frac{3}{4}\pi \leqq \theta \leqq \pi ,\ \frac{5}{4}\pi \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi ,\ \frac{7}{4}\leqq \theta \leqq 2\pi$