マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2019年中高共通第6問】

数列教員採用試験の過去問

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の数列 $\{ a_{n}\}$ について、(1)・(2)の問いに答えなさい。

$1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ 16,\ 22,\ 29,\ \cdots$

(1)第 $n$ 項 $a_{n}$ を求めなさい。

(2)初項から第 $4m$ 項までに現れる奇数の総和を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

階差数列を用いて解く問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2項間の関係を見てみる

2項間の差を見てみると、順番に

$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ \cdots$

になっていますので、数列 $\{ a_{n}\}$ の階差数列が $n$ になっていることがわかります。したがって、数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項は

$\begin{eqnarray*} a_{n}&=&1+\sum_{k=1}^{n-1}k\\ &=&1+\frac{1}{2}n(n-1)\\ &=&\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n+1\end{eqnarray*}$

となります。

初項から第 $4m$ 項までに現れる奇数の和を求める

まずはどこに奇数が現れるかを調べます。順番に見ていくと、1番目に1、4番目に7、5番目に11、8番目に29が現れています。9番目を調べると9番目の項は37なので奇数です。共通しているところは項の番号が4の倍数と4で割って1余る数であるときに奇数が現れています。このことを式を使って言い換えると、 $n=4m$ または $n=4m-3$ のときに奇数が現れているということになります。ですので $a_{4m}$ と $a_{4m-3}$ を求めると良さそうです。これらをそれぞれ求めると

$a_{4m}=8m^{2}-2m+1$

$a_{4m-3}=8m^{2}-14m+7$

となります。したがって、初項から第 $4m$ 項までに現れる奇数の総和は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}(8k^{2}-2k+1)+\sum_{k=1}^{m}(8k^{2}-14k+7)=\frac{16}{3}m^{3}+\frac{8}{3}m$

となります。ここの計算が大変なので注意が必要です。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

階差数列を調べると一般項を求めるのは容易です。

後半の奇数の総和を求める問題が少し難しいです。

どこの項に奇数が現れるかを探すことが一番難しいですが、共通していることを見つけ出すとあとは計算するだけになります。

　

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