徳島県教員採用試験の問題【2018年中学校第1問】

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今回の問題

今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中学校第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

2つの奇数の和が偶数になる。このことを文字式を使って次のように生徒が説明している。この説明では不十分であることの理由を示し、文字式を使って正しい説明に直しなさい。

【生徒の説明】

$n$ を整数とすると、奇数は $2n+1$ と表される。このとき、2つの奇数の和は

$\begin{eqnarray*} (2n+1)+(2n+1)&=&4n+2\\ &=&2(n+1)\end{eqnarray*}$

$2n+1$ は整数だから、 $2(2n+1)$ は偶数である。

したがって、2つの奇数の和は偶数である。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

生徒の作成した証明を指摘する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

正しい説明を書いてみる

いきなり指摘をしようとすると不十分な点が発見しづらいので、正しい説明を書いてみます。

正しい説明

$n,m$ を整数とすると、奇数は $2n+1,2m+1$ と表される。2つの奇数の和は

$\begin{eqnarray*} (2n+1)+(2m+1)&=&2n+2m+2\\ &=&2(m+n+1)\end{eqnarray*}$

$m+n+1$ は整数だから $2(n+m+1)$ は偶数である。

したがって、2つの奇数の和は偶数である。

正しい説明と生徒の説明を比較してみる

正しい答えは文字を2つ用意し、 $2n+1$ と $2m+1$ は異なる奇数であることを表しています。 $n$ と $m$ は絶対に異なるものではいけない、というわけではありませんので、同じ奇数の場合も想定して説明をしています。ところが、生徒の説明では $2n+1$ という1つの奇数しか用意されていません。ですので、生徒の説明で行った計算は $2n+1$ という奇数を2回足しただけということになります。

不十分な原因を考える

生徒の説明で不十分なところは「奇数が1つしか用意されていない」というところです。このような間違いを起こす原因は「同じ文字には同じ数が入る」というところを認識していないところにあると考えられます。ですので、具体的に $n$ の値を設定して「同じ文字には同じ数が入る」ということを認識させることが大切です。