旭川大学の問題【2022年一般入試・対称式】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は旭川大学2022年一般入試で出題された問題です。

今回は一般入試で出題された対称式に関する問題です。

難易度は☆☆☆です。

対称式の性質を使って解く問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ であることを用いるとほとんどの問題が解決されます。

(1)は次のように計算して求めます。

$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left( x+\frac{1}{x}\right) ^{2}-2$

$=7-2=5$

$\displaystyle \left( x-\frac{1}{x}\right) ^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$

$=5-2=3$

より $\displaystyle x-\frac{1}{x}=\pm \sqrt{3}$

(2)も同じような計算で

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

$=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}$

$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left( x+\frac{1}{x}\right) ^{2}-2$

$=8-2=6$

今回の問題はセンター試験・共通テストの過去問でも見かけるような問題でした。

全体的に見て旭川大学の問題は易しいので、入試問題を解く練習になるかと思います。

ですが、易しいのは次の入試までで、2024年の入試から難易度が跳ね上がります。

その理由を明日から少しずつお話していこうかと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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